Extensión de las fibraciones tras la fijación de las células

Question

Supongamos que $p:E\rightarrow B$ es una fibración de complejos CW conectados. Sea $x\in p_*(\pi_n(E))$ y asumir $x$ está representado por un mapa $f:S^n \rightarrow B$ . Adjuntar $n+1$ célula dimensional a lo largo del mapa $f$ para matar el elemento $x$ en $\pi_n(B)$ . ¿Es posible adjuntar algunas células a $E$ para que el mapa $p$ puede extenderse a una fibración sobre $B \cup$ (el adjunto $n+1$ -célula)

Answer 1

Voy a suponer que en el fibrado original la fibra sobre el punto base es un subcomplejo. Además, voy a suponer que estamos tratando de extenderlo a una fibración de nuevo donde la fibra sobre el punto base es un subcomplejo. No sé si se puede reducir la pregunta general a este caso.

Tomemos el fibrado trivial $S^1 \times I \rightarrow S^1$ . Adjuntar un disco a lo largo del bucle de identidad de $S^1$ . Se trata de un espacio contráctil, por lo que por la secuencia exacta larga de una fibración los grupos de homotopía de la fibra de una fibración sobre este espacio son los grupos de homotopía del espacio total.

Ahora bien, como el 2-esqueleto del espacio total que se busca es el cilindro, el grupo fundamental de dicho espacio total debe ser $\mathbb{Z}$ . Por lo tanto, el grupo fundamental de la fibra es $\mathbb{Z}$ . Sin embargo, la fibra debe tener un 2-esqueleto contráctil ya que el 2-esqueleto de la fibra sobre el punto base es $[0,1]$ . Esto significa que el grupo fundamental de la fibra es trivial, lo que significa que no puede existir tal espacio total.