¿Se puede recuperar un grupo de su orden y automorfismo?

Question

¿Existe dos no es isomorfo grupos finitos $G$ e $H$ de la misma cardinalidad con $Aut(G) \cong Aut(H)$ ?

Yo sé que el no-grupo cíclico de orden $4$ es decir $\mathbb{Z}_{2} \oplus \mathbb{Z}_{2}$ y el no-grupo abelian de orden $6$ i.e $S_{3}$ han isomorfo automorphism grupo. Pero estoy interesado en grupos con el mismo fin? No sé si tal ejemplo existe o no?

Answer 1

Considere $G=Z_2\times Z_4$ y $H=D_8$ .
Luego $G\not\cong H$ pero Aut $(G)\cong$ Aut $(H)\cong D_8$