Simplificar, equivalente para (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q)

Question

En mi libro de texto me hizo deducir una expresión más sencilla para

(p ∨ q) ∧ (p ∨ q)

Buscando una equivalencia en la tabla I se hizo, parece p ∨ ¬q da los mismos resultados como (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q). Sin embargo no estoy seguro de cómo se podría deducir esto sin la tabla, como en, si yo estaba rotundamente les pide que escriban lo anterior en términos más sencillos no sabría por dónde empezar. Soy yo la comprensión de este correctamente?

Mi Tabla:

Answer 1

PS

Answer 2

Aquí está la tabla corregida:

$$ \begin{array}{cc|cccc|c} P & Q & \neg P & \neg Q & P\lor\neg Q & \neg P\lor\neg Q & (P\lor \neg Q)\land(\neg P\lor \neg Q)\\\hline T&T&F&F&T&F&F\\ T&F&F&T&T&T&T\\ F&T&T&F&F&T&F\\ F&F&T&T&T&T&T \end {array} $$

De esto, puedes ver que $(p \lor \neg q)\land(\neg p \lor \neg q) \iff (\neg q)$

Answer 3

Esto es en realidad una instancia del siguiente principio de equivalencia lógica:

Proximidad

$(p \land q) \lor (p \land \neg q) \Leftrightarrow p$

Entonces, con este principio, inmediatamente puedes decir que:

$(p \lor \neg q) \land (\neg p \lor \neg q) \Leftrightarrow \neg q$

Cuando haces álgebra booleana para simplificar expresiones, esta situación aparece mucho, ¡así que te recomiendo que recuerdes este principio de equivalencia!

Answer 4

Simplemente usando las siguientes propiedades del álgebra booleana,

\begin{align} a\bar{a} &=0\\ 1 a &=a\\ 0 a &=0\\ a+\bar{a}&=1\\ 0+a &=a\\ 1+a &=1\\ a+a&=a\\ a(b+c)&=ab+ac \end{align}

puedes simplificar

\begin{align} (p+\bar{q})(\bar{p}+\bar{q}) &=p\bar{p}+ (p+\bar{p})\bar{q}+\bar{q}\bar{q}\\ &= 0 + 1\bar{q}+\bar{q}\\ &= 0 +\bar{q}\\ &=\bar{q} \end{align}

Answer 5

Tenga en cuenta que si $q$ es verdadero uno de los conjuntos será verdadero y el otro falso, y la conjunción será falsa, mientras que si $q$ es falso, ambos conjuntos serán verdaderos, por lo que la conjunción será verdadera . Dado que es cierto si no lo es $q$ , la expresión más simple para la función de verdad es $\neg q$ .