Transformada de Laplace de una función Heaviside

Question

Encuentra la transformada de Laplace.

PS

Entiendo que el$$g(t)= (t-1) u_1(t) - 2(t-2) u_2(t) + (t-3) u_3(t)$

Encontrar$\mathcal{L}\{u_c(t) f(t-c)\} = e^{-cs}*F(s)$ es la parte difícil para mí. Mi profesor ha utilizado, por ejemplo,$F(s)$ $ let$$f(t-2)=t^2$ $$$s = t-2$ $$$t= s+2$ $ por lo tanto$$f(s) = (s+2)^2$

Pero luego dijo que$f(t) = (t+2)^2$ por lo tanto,$f(t-2) = 1$. Pero ¿por qué / cómo?

Por la lógica anterior, si deja que$f(t) = 1$ entonces$s = t-2$ y$t= s+2$, así que$f(s) = s+2$ no$f(t) = t+2$.

Me está costando entender esto.

Answer 1

Usando la notación$u_{c}(t) = H(t-c)$, donde$H(t)$ es la función de paso de Heaviside, entonces$$g(t)= (t-1) u_1(t) - 2(t-2) u_2(t) + (t-3) u_3(t)$ $ se evalúa de la siguiente manera.

Deje$g(s) = \mathcal{L}\{g(t)\}$ tal que: \begin{align} g(s) &= \int_{0}^{\infty} e^{-s t} \left[ (t-1) \, H(t-1) - 2 \, (t-2) \, H(t-2) + (t-3) \, H(t-3) \right] \, dt \\ &= \int_{1}^{\infty} (t-1) \, e^{-st} \, dt - 2 \, \int_{2}^{\infty} e^{-s t} (t-2) \, dt + \int_{3}^{\infty} e^{-s t} (t -3) \, dt \\ &= \int_{0}^{\infty} e^{-s(x+1)} \, x \, dx - 2 \, \int_{0}^{\infty} e^{-s(x+2)} \, x \, dx + \int_{0}^{\infty} e^{-s(x+3)} \, x \, dx \\ &= \left( e^{-s} - 2 \, e^{-2 s} + e^{-3s} \right) \, \int_{0}^{\infty} e^{-s x} \, x \, dx \\ &= \frac{e^{-s} \, (1-e^{-s})^{2}}{s^{2}} \end {align}

Answer 2

INSINUACIÓN:

PS

Así,

PS

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NOTA:

Derivamos el resultado para la transformada de Laplace de$$\mathscr{L}(tu(t))(s)=\int_0^{\infty}te^{-st}dt=\frac1{s^2}$. Para ello escribimos

PS

Ahora, integre por partes con$$\mathscr{L}((t-c)u(t-c))(s)=\int_c^{\infty}(t-c)e^{-st}dt=e^{-sc}\frac1{s^2}$ y$t$. Entonces,

$$ \begin{align} \int_0^{\infty}te^{-st}dt&=\left.-t\frac{e^{-st}}{s}\right|_0^{\infty}+\frac{1}{s}\int_0^{\infty}e^{-st}dt\\\\&=\frac{1}{s^2}\end {align} $$

Answer 3

Su función es$f(t)=t$ pero no$f(t)=1$.
Debe obtener la fórmula$$\mathcal{L}\{u_c(t) f(t-c)\} = e^{-cs}*F(s)$ $ 3 veces con$c=1,2, 3$ para obtener la respuesta.

La respuesta derivada de Leucipo se ve correcta.