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Mostrar que el operador lineal en2 no tiene límites

Actualmente, me estoy preparando para un próximo curso de un semestre y tratando de averiguar algunos conceptos básicos en el análisis funcional.

Deje T:D(T)2 ser definido por

T((xn)nN)=(nxn)nN

donde D(T)2 consta de todas las secuencias (xn) con un número finito distinto de cero elementos. (cf. Erwin Kreyszig: Introduccion el Análisis Funcional, la resolución de 10.1 8)

(a) Mostrar que T es ilimitado. (b) T adecuada lineal extensiones? (c) Puede T es linealmente extendida a todo el espacio 2?

(a) Primero, estoy interesado en probar el ilimitado: Básicamente necesito mostrar . Mi primer intento, donde estoy atrapado en el, era probarlo directamente.

\lVert Tx \rVert=\left(\sum_n|nx_n|^2\right)^{1/2}=\left(\sum_nn^2|x_n|^2\right)^{1/2}

Pero soy incapaz de hacerlo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

3voto

MarlonRibunal Puntos 1732

Toma la secuencia de secuencias:

u_0: 0, \dots

u_1:1,0,\dots

u_2: 1,1,0,\dots

u_3: 1,1,1,0,\dots

Todos ellos están enD(T)

La imagen de estas secuencias porT es

Tu_0:0,\dots

Tu_1:0,1,0,\dots

Tu_2:0,1,2,0,\dots

Tu_3:0,1,2,3,0,\dots

Tomax=u_i para algunosi,

\left\|x\right\|=\left(\sum\limits_n|x_n|^2\right)^{1/2}=\left(\sum\limits_{n=0}^i1\right)^{1/2}=\sqrt{i}

\left\|Tx\right\|=\left(\sum\limits_nn^2|x_n|^2\right)^{1/2}=\left(\sum\limits_{n=0}^in^2\right)^{1/2}=\sqrt{\cfrac{i(i+1)(2i+1)}{6}}

\cfrac{\left\|Tu_i\right\|}{\left\|u_i\right\|}=\cfrac{\sqrt{\cfrac{i(i+1)(2i+1)}{6}}}{\sqrt{i}}=\sqrt{\cfrac{(i+1)(2i+1)}{6}}\underset{i\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty

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