Actualmente, me estoy preparando para un próximo curso de un semestre y tratando de averiguar algunos conceptos básicos en el análisis funcional.
Deje T:D(T)→ℓ2 ser definido por
T((xn)n∈N)=(nxn)n∈N
donde D(T)⊂ℓ2 consta de todas las secuencias (xn) con un número finito distinto de cero elementos. (cf. Erwin Kreyszig: Introduccion el Análisis Funcional, la resolución de 10.1 8)
(a) Mostrar que T es ilimitado. (b) T adecuada lineal extensiones? (c) Puede T es linealmente extendida a todo el espacio ℓ2?
(a) Primero, estoy interesado en probar el ilimitado: Básicamente necesito mostrar ‖. Mi primer intento, donde estoy atrapado en el, era probarlo directamente.
\lVert Tx \rVert=\left(\sum_n|nx_n|^2\right)^{1/2}=\left(\sum_nn^2|x_n|^2\right)^{1/2}
Pero soy incapaz de hacerlo. Cualquier ayuda es muy apreciada.