Mostrar que el operador lineal en$\ell^2$ no tiene límites

Question

Actualmente, me estoy preparando para un próximo curso de un semestre y tratando de averiguar algunos conceptos básicos en el análisis funcional.

Deje $T:\mathcal{D}(T)\to \ell^2$ ser definido por

$$T((x_n)_{n\in\mathbb{N}})=(nx_n)_{n\in\mathbb{N}}$$

donde $\mathcal{D}(T)\subset \ell^2$ consta de todas las secuencias $(x_n)$ con un número finito distinto de cero elementos. (cf. Erwin Kreyszig: Introduccion el Análisis Funcional, la resolución de 10.1 8)

(a) Mostrar que $T$ es ilimitado. (b) $T$ adecuada lineal extensiones? (c) Puede $T$ es linealmente extendida a todo el espacio $\ell^2$?

(a) Primero, estoy interesado en probar el ilimitado: Básicamente necesito mostrar $\lVert T\rVert=\infty$. Mi primer intento, donde estoy atrapado en el, era probarlo directamente.

$$\lVert Tx \rVert=\left(\sum_n|nx_n|^2\right)^{1/2}=\left(\sum_nn^2|x_n|^2\right)^{1/2}$$

Pero soy incapaz de hacerlo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Toma la secuencia de secuencias:

$u_0: 0, \dots$

$u_1:1,0,\dots$

$u_2: 1,1,0,\dots$

$u_3: 1,1,1,0,\dots$

Todos ellos están en$D(T)$

La imagen de estas secuencias por$T$ es

$Tu_0:0,\dots$

$Tu_1:0,1,0,\dots$

$Tu_2:0,1,2,0,\dots$

$Tu_3:0,1,2,3,0,\dots$

Toma$x=u_i$ para algunos$i$,

$\left\|x\right\|=\left(\sum\limits_n|x_n|^2\right)^{1/2}=\left(\sum\limits_{n=0}^i1\right)^{1/2}=\sqrt{i}$

$\left\|Tx\right\|=\left(\sum\limits_nn^2|x_n|^2\right)^{1/2}=\left(\sum\limits_{n=0}^in^2\right)^{1/2}=\sqrt{\cfrac{i(i+1)(2i+1)}{6}}$

$\cfrac{\left\|Tu_i\right\|}{\left\|u_i\right\|}=\cfrac{\sqrt{\cfrac{i(i+1)(2i+1)}{6}}}{\sqrt{i}}=\sqrt{\cfrac{(i+1)(2i+1)}{6}}\underset{i\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty$