$L^p$ la convergencia se desprende de $L^2$ convergencia más acotación de $L^\infty$ ?

Question

Dejemos que $f_n: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sea una secuencia de funciones con $(f_n)\subset L^2\cap L^\infty$ . Además, que haya un $f \in L^2( \mathbb{R})$ y una constante $C>0$ con las características $f_n\rightarrow f$ en $L^2( \mathbb{R})$ y $\|f_n\|_{L^\infty}\leq C$ .

A) Demuestre que $f\in L^\infty( \mathbb{R})$ B) Demuestre que $f_n\rightarrow f$ en $L^p( \mathbb{R})$ para $2\leq p <\infty$

Answer 1

A) Reclamo $|f| \le C$ a.e. En caso contrario, existe un conjunto de medidas positivas sobre las que $|f| > k > C$ para algunos $k$ lo que implica un límite inferior en $\|f - f_n\|_2^2$ .

B) Tenga en cuenta que para cualquier $x \in [0,2C]$ , $x^p \le (2C)^{p-2} x^2$ . Entonces

$$\|f_n - f\|_p^p \le (2C)^{p-2} \|f_n - f\|_2^2$$