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Lp la convergencia se desprende de L2 convergencia más acotación de L ?

Dejemos que fn:RR sea una secuencia de funciones con (fn)L2L . Además, que haya un fL2(R) y una constante C>0 con las características fnf en L2(R) y .

A) Demuestre que f\in L^\infty( \mathbb{R}) B) Demuestre que f_n\rightarrow f en L^p( \mathbb{R}) para 2\leq p <\infty

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Matthew Scouten Puntos 2518

A) Reclamo |f| \le C a.e. En caso contrario, existe un conjunto de medidas positivas sobre las que |f| > k > C para algunos k lo que implica un límite inferior en \|f - f_n\|_2^2 .

B) Tenga en cuenta que para cualquier x \in [0,2C] , x^p \le (2C)^{p-2} x^2 . Entonces

\|f_n - f\|_p^p \le (2C)^{p-2} \|f_n - f\|_2^2

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