Definición equivalente de$C^k(\overline \Omega)$

Question

He encontrado algunos mensajes acerca de las definiciones equivalentes de $C^k(\overline \Omega)$:

Definiciones equivalentes de $C^r(\Omega)$?

Definición de convergencia en $C^\infty(\Omega)$

Relación entre la función de los espacios $C_c^\infty(\Omega)$, $C_c^\infty(\overline{\Omega})$ y $C_c^\infty(\Bbb{R}^d)$

Sin embargo, todos ellos no han respondido la siguiente pregunta:

Deje $\Omega$ ser un subconjunto acotado en $\mathbb{R}^N$. Denotar $$C^k(\overline{\Omega}):= \{ u \in C^k(\Omega): D^\alpha f \text{ is uniformly continuous on } \Omega, \text{ for all }|\alpha|\leq k \}$$ y $$D^k(\overline {\Omega}):= \{ u: \text{ there exists }\Omega' \supset \overline{\Omega} \text{ and }g \in C^k(\Omega') \text{ such that }u = g|_{\Omega}\}.$$ Bajo qué condiciones (de $\Omega$), uno ha $C^k(\overline{\Omega)} = D^k(\overline{\Omega})$?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Claramente, $D^k(\bar\Omega)\subset C^k(\bar\Omega)$.

Lo contrario no es cierto: Defina $$ \ Omega = [-1,1] ^ 2 \ setminus [0,1] \ times \ {0 \}, $$ que es un cuadrado con una rendija. Defina $$ f (x, y): = \begin{cases} x^2 & \text{ if } x\le 0 \text{ or } y\le 0\\ 0 & \text{ else }\end {casos}. $$ Luego$f\in C(\bar\Omega)$ pero no en$D^0(\Omega)$, ya que$f|_{\bar\Omega}$ es discontinuo a lo largo de la ranura.

No tengo idea de cómo probar la igualdad de los conjuntos si uno excluye los dominios de hendidura al requerir$\Omega = int(\bar\Omega)$.