¿Obedecen la tercera ley de Newton dos muelles comprimidos uno contra otro?

Question

He estado dándole vueltas al siguiente escenario.

Supongamos que tomo dos muelles cuya fuerza viene dada por alguna función bien definida de la posición (por ejemplo, la ley de Hooke F=kx servirá). Utilizando esta ley, elijo comprimir el muelle A una distancia x que me garantice que el muelle ejercerá una fuerza de 10N.

Entonces elijo comprimir el muelle B una distancia tal que ejerza una fuerza de 7N.

Pongo los dos muelles uno al lado del otro, los suelto y dejo que cada uno ejerza su fuerza contra el otro. Es más fácil imaginarlo a lo largo del eje horizontal, y podemos ignorar la gravedad y la fricción y cualquier otro posible entrometido.

El muelle A debe ejercer una fuerza de 10N sobre el muelle B según su ley de fuerza y compresión, pero el muelle B debe ejercer una fuerza de 7N de vuelta sobre el muelle A según su ley de fuerza y compresión.

Por lo tanto, la fuerza que el muelle A ejerce sobre el muelle B NO es igual y opuesta a la fuerza que el muelle B ejerce sobre el muelle A.

Esto es una violación de la Tercera Ley de Newton. ¿Qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

He aquí una versión más simple de su paradoja:

Supongamos que tomo un muelle en equilibrio y empujo su extremo con una fuerza de diez newtons. Al cabo de muy poco tiempo, el muelle no se ha comprimido de forma apreciable, por lo que el $F=-kx$ dice que la fuerza que ejerce sobre mi mano es casi nula, pero la tercera ley de Newton dice que debe ser de diez Newtons. ¿Cuál es la correcta?

La segunda respuesta, que el muelle ejerce una fuerza de diez newtons sobre mi mano, es correcta. El muelle es un objeto dinámico. Piensa en él como si fueran 100 muelles con 0,01 de masa y 100 veces la constante del muelle conectados en serie. Lo que verás es que el primer muelle, el que estoy tocando, puede estar más comprimido que el segundo, el tercero, el cuarto, etc. El muelle ya no tiene una tensión uniforme, que es la suposición que hay detrás del $F = -kx$ ley.

En otras palabras, la ley de Hooke se basa en suposiciones, y cuando tu muelle es masivo y acelera de forma diferente en distintas partes, como ocurre con los muelles reales, esas suposiciones fallan. Los dos muelles ejercerán fuerzas iguales y opuestas entre sí, como dicta la tercera ley de Newton.

Answer 2

"El muelle A ejercerá 10 N sobre el muelle B y el muelle B ejercerá 7N sobre el muelle A " - Esta aproximación es errónea.

El muelle A ejercerá x N sobre el muelle B y el muelle B también ejercerá x N sobre el muelle A. El valor de x se puede calcular si se da su masa y alguna restricción como que el punto de contacto nunca cambie de posición o algo así. (Aunque creo que es complejo de calcular). Como resultado de este x, los resortes individuales enteros se moverán en direcciones opuestas y se expandirán (desenrollarán) en el hueco creado por dicho movimiento.

Answer 3

Imagina el mismo problema pero con un objeto enorme entre los muelles. Las fuerzas ejercidas por los muelles a ambos lados del objeto son diferentes, y entonces la masa se acelera. Ahora, el problema es el mismo pero la masa es cero. Aquí la aceleración es indefinida (tiende a infinito a medida que la masa tiende a cero). Conclusión, suponer que puedes conectar dos muelles sin masa es una suposición no física. Si los muelles tienen masa el problema es más complejo que una aplicación directa de la ley de Hooke.

Answer 4

Lo que te falta es lo siguiente:

Sean la longitud y la compresión de la cadena 1 $l_1$ y $x_1$ respectivamente. Del mismo modo, para la segunda cadena $l_2$ y $x_2$ .

Al colocar las dos cuerdas adyacentes, lo que se fija es la distancia entre sus extremos fijos, que es $l_1+l_2-x_1-x_2$ . Las compresiones individuales $x_1$ y $x_2$ son no arreglado.

Al igual que cuando tiras de una cuerda y la dejas, la cuerda vuelve a su posición inicial, de forma similar en este caso, tan pronto como las juntes y dejes las cuerdas, las compresiones individuales cambiarán de forma que ${x_1}^{new}={x_2}^{new}$ para que la magnitud de las fuerzas sea la misma $=kx$ .

En pocas palabras, no hay nada que obligue a las cuerdas a estar exactamente a compresiones equivalentes a 100 N y 70 N. Se ajustarán para que las fuerzas sean iguales y opuestas. ¿Está claro?