Demostrando que un paseo aleatorio que se desvía hacia el infinito puede no convertirse en negativo

Question

Considere una caminata al azar $S_n= \sum_ {k=1}^n X_k$ donde $\{X_k\}_{k=1}^ \infty $ son variables aleatorias independientes y distribuidas de forma idéntica. Supongamos que $S_n \rightarrow \infty $ casi seguro como $n \rightarrow \infty $ . Deje que $$ \tau = \inf\ {n \geq 1: S_n \leq 0\}.$$

En el libro "Stopped Random Walks - Limit Theorems and Applications" de Allan Gut encontré un teorema que dice que bajo los supuestos anteriores $ \tau $ es defectuosa, es decir, $$ \mathbb {P}( \tau = \infty )>0.$$ Sin embargo, no se proporciona ninguna prueba para el teorema. ¿Podría alguien dar alguna pista sobre cómo probar este teorema? Además, ¿alguien sabe si hay alguna generalización del teorema para el caso de que $\{X_k\}_{k=1}^ \infty $ no son de la I.I.D.? ¡Gracias por su tiempo!

Answer 1

El camino aleatorio $(S_n; n \ge 0)$ satisface la la fuerte propiedad de Markov . En más detalle, la variable aleatoria $ \tau $ es un tiempo de parada, es decir, adaptado al proceso, por lo que la fuerte propiedad de Markov implica la trayectoria $(S_{ \tau +n}; n \ge 1)$ después de $ \tau $ es independiente de $(S_k; 0 \le k < \tau )$ dado $S_ \tau $ . Además, el recorrido aleatorio es homogéneo en el tiempo y el espacio, por lo que la distribución de la trayectoria después de $ \tau $ también es lo mismo.

Supongamos que $ \mathbb {P}( \tau = \infty ) = 0$ es decir. $ \mathbb {P}( \tau < \infty ) = 1$ y la cadena de Markov a.s. va $ \le 0$ en un tiempo finito. La idea es usar esto y el SMP para mostrar que la cadena va repetidamente $ \le 0$ y así $S_N \not\to \infty $ .

Deje que $ \tau_0 = \tau $ y definir recursivamente $ \tau_ {n+1} = \inf\ { \tau > \tau_n : S_ \tau \le S_{ \tau_n }\}$ . Tenga en cuenta que por la construcción $0 \ge S_{ \tau_0 } \ge S_{ \tau_1 } \ge \ldots $ . Además, $ \tau_0 $ es a.s. finito por suposición. El SMP implica $(S_{ \tau_0 + n}; n \ge 1)$ es independiente del pasado (dado $S_{ \tau_0 }$ y el valor preciso $ \le 0$ no importa) y la homogeneidad de la caminata aleatoria implica $ \tau_1 $ tiene la misma distribución* que $ \tau_0 $ y en particular es una a.s. finita. La aplicación del argumento muestra repetidamente $ \tau_n $ es una A.S. finita. Así que $ \tau_n \to \infty $ y así $S_{ \tau_n } \le 0$ . Por lo tanto $S_n \not\to \infty $ .

En cuanto a las suposiciones relajadas ¿Tiene en mente un escenario específico para el caso de los no-I.I.D.? (Puedes probar algo parecido a mi respuesta para cadenas de Markov homogéneas en el tiempo con condiciones extras cuando se empieza desde $ \le 0$ en el paso *)