Cual de estas construcciones son de izquierda adjoints?

Question

• Un groupoid puede ser considerado como una categoría pequeña, en la que cada flecha es un isomorfismo
• Un monoid puede ser considerado como una categoría pequeña, con un solo objeto
• Un preorder puede ser considerado como una categoría pequeña en la que cada hom-conjunto tiene más de un elemento.

Por lo tanto, en cada caso, hay una inclusión functor entre el correspondiente a la categoría y la categoría de las categorías pequeñas. Me pregunto cual de estos inclusión functors tiene un adjunto a la izquierda, y cómo crearlas.

Para asignar un arbitrario categoría de pequeña a una groupoid, me gustaría simplemente omitir todas las flechas que no son isomorphisms. Aún así, esto parece ser un canónica de la construcción, no parece ser un functor. Después de todo, un functor se debe asignar a cada flecha en algún lugar, pero ¿qué hacer con el omiten las flechas? (Parece que cayó en una trampa, la "interna" de las flechas no son relevantes morfismos aquí.) Pero tal vez hay una completamente diferente ("grupo de Grothendieck" como) la construcción, lo que realmente funciona y es un adjunto a la izquierda?

Para asignar un arbitrario categoría de pequeña a una monoid, me gustaría que solo fuera un objeto. Sin embargo, esto no parece ser un canónica de la construcción. Pero tal vez las siguientes obras de construcción. Si la categoría tiene más de un solo objeto, luego añadir ("tocan") una nueva parte inferior del elemento (o "de morfismos"), y definir cada indefinido composición para dar la parte inferior del elemento. El binario resultante de la operación es total y asociativa, por lo que esta parece ser una canónica de la construcción. Se asigna a cada objeto a la única monoid objeto y cada uno de los morfismos a un elemento de la monoid, por lo que parece ser un functor. Pero es este un functor adjunto a la izquierda de la inclusión functor?

Para asignar un arbitrario categoría de pequeña a un preorder, me podría reemplazar cada uno de no-vacío hom-establecido por un hom-conjunto con un solo elemento. Esta construcción debe dar a la izquierda functor adjunto de la inclusión functor, ¿no?

Answer 1

Usted tiene describe correctamente el derecho adjoint de $\mathsf{Gpd} \to \mathsf{Cat}$. Se asigna una categoría de pequeña a su núcleo. Esto es un functor $\mathsf{Cat} \to \mathsf{Gpd}$. Dado un functor entre categorías pequeñas, mapas isomorphisms a isomorphisms, por lo tanto restringe a un functor entre los núcleos.

El functor $\mathsf{Mon} \to \mathsf{Cat}$ no tiene derecho adjoint porque no conservar colimits. De hecho, ya el objeto inicial no se conserva (la inicial monoid es $\{1\}$, mientras que la categoría inicial está vacía). Sin embargo, este functor ha dejado adjunto: Podemos asignar una categoría $C$ a la libre monoid generado por $\mathrm{Mor}(C)$ modulo de las relaciones $[f] * [g] = [f \circ g]$ si $f,g \in \mathrm{Mor}(C)$$\mathrm{cod}(g)=\mathrm{dom}(f)$. En cierto sentido, esta es la categoría con todos los objetos contratado a un único objeto.

El functor $\mathsf{PreOrd} \to \mathsf{Cat}$ ha dejado adjunto: asigna una categoría de pequeña $C$ a la preventa en $\mathrm{Ob}(C)$ $X \leq Y$ fib hay un morfismos $X \to Y$. Pero él no tiene el derecho adjuntos.

Answer 2

Además de Martin contesta, usted puede disfrutar de añadir - o debería decir contigua :-) - otro contigüidad a su ya excelente colección.

En realidad es una contigüidad cuatrillizos!

$$Comp \dashv D \dashv Ob \dashv Ind$$

donde:

$Comp: \mathsf{Cat} \to \mathsf{Set}$, $C \mapsto $conjunto de componentes conectados de $C$

$D: \mathsf{Set} \to \mathsf{Cat}$, $S\mapsto $categoría discreta de $S$

$Ob: \mathsf{Cat} \to \mathsf{Set}$, $C \mapsto $conjunto de objetos de $C$

$Ind: \mathsf{Set} \to \mathsf{Cat}$, $S\mapsto $indiscreta categoría de $S$

$Ind(S)$ es la categoría con objetos de $S$ y exactamente una flecha en cada hom-set. Es un preorder, un groupoid y, si $S$ es no vacío, es equivalente a la terminal de categoría

Todo esto se puede leer en CWM 2ª ed. página 90 ejercicio 9.