¿Cómo encontrar los valores de$n$ para los cuales$\displaystyle\underbrace{111\cdots1111}_{n}\equiv0 \pmod {41}$?

Question

¿Cuáles son los valores de$n$ que satisfacen$\displaystyle\underbrace{111\cdots1111}_{n}\equiv0 \pmod {41}$?

Creo que$n=5k$, con$k=1,2,\cdots$, pero no puedo probarlo.

Answer 1

Buena suposición, math110. ¿Qué tal una pequeña inducción en múltiplos de$\,5\,$? Dejar

PS

PS

PS

Y desde$$\overbrace{11111\overbrace{111...1}^{5k\,\,1's}}^{5(k+1)\,\,1's}=10^{5k+5}+10^{5k+4}+\ldots+10^{5k+1}+\ldots+10+1=$ hemos terminado.

Por cierto, ¿notaste el interesante patrón de los enteros$$10^{5k+4}+\ldots+10^{5k+1}+41 m\;,\;\;m\in\Bbb Z=10^{5k}\left(1+10+\ldots+10,000\right)+41m=$? Arriba está oculto el secreto para ellos ... pero no necesitas esto.

Answer 2

Piensas que$n=5k, k=1,2,\ldots$, así que supongo que verificas si los números$f_n=\displaystyle\underbrace{111\cdots1111}_{n}$ son divisibles entre$41$ para$n=1,2,3,4,{\color{red}5},6,7,8,9,{\color{red}{10}},11\ldots$ sugiero encontrar los restos de$f_n$ sobre$41$ para estos valores de$n$ para ver el patrón. Entonces trata de probarlo.

Insinuación:

$f_{n+k}=10^kf_n+f_k.$

Answer 3

A poco de Fermat, $\rm\ mod\ 41\!:\, 1 \equiv 2^{40}\!\equiv \color{#C00}2^{\,\color{#C00}8\cdot 5}\!\equiv \color{#0A0}{10}^5\!,\ $ por $\rm\:\color{#C00}{2^8}\!= 256 = \color{#0A0}{10} + 6\cdot 41,\:$ lo $\rm\,10\,$ tiene orden de $\rm\,\color{blue}5.$

Por lo tanto, $\rm\,\ 41\mid (10^n\!-\!1)/9\iff 41\mid 10^n\!-\!1 \iff \color{blue}5\mid n$

Comentario $\ $ Respondiendo a un comentario, voy a explicar la génesis de esta breve prueba. Deje $\rm\:c\:$ ser un elemento de un grupo de $\rm\,G\,$ orden $\rm\:|G| = km,\:$ y supongamos que se desea calcular el orden de $\rm\:n\:$ de % de $\rm\:c.\:$ Recordar, por Lagrange, $\rm\:x^{km} = 1\:$ para todos los $\rm\:x,\:$ lo $\rm\:n\mid km.\:$ Si $\rm\:c\:$ es $\rm\,k'th\:$ poder $\rm\:c = b^k\:$, entonces, por Lagrange, $\rm\:c^m = b^{km} = 1,\:$ lo $\rm\:n\mid m.\:$ , Con lo que nuestra orden de búsqueda se simplifica a la búsqueda de divisores de un número menor $\rm\ m\mid km.\ $, En particular, cuando se $\rm\:m\:$ es primo (como en el anterior, donde $\rm\,m=5),\:$ sólo hay dos posibilidades para la orden, $\rm\:m\:$ o $\,1.\:$

En el OP estamos en el grupo multiplicativo de un valor distinto de cero enteros mod $\,41,\,$ orden $\rm\,km = 8\cdot 5\:$ y vamos a buscar la orden de $\rm\:c = 10.\:$ Motivado por la observación anterior, tratamos de algunos pequeños números para ver si $\,10\,$ es $8$'th o $5$'th poder. Huelga de oro rápidamente desde el primer número pequeño tratamos, $\rm\,b= 2,\:$ el truco: $\,2^8\!\equiv 10.\:$ Este rendimientos por encima de la conciso prueba de que $\,10\,$ tiene orden de $\,5.$

De tal suerte, no es raro que los números pequeños (cf. R. K. Chico de la ley de los pequeños números), por lo que es a menudo vale la pena mirar para tales optimizaciones cuando se trabaja pequeños problemas con la mano. Por otra parte, los ejercicios y los problemas de las pruebas son a menudo diseñados para hacer los cálculos simples (para que no distraer la atención lejos de la esencia de la materia que se enseña), lo que aumenta la probabilidad de que tales optimizaciones pueden existir.

Answer 4

$n = 5k$

$11111$ =$41$ x$271$

$1111111111$ =$41$ x$27100271$

$111111111111111$ =$41$ x$2710027100271$

Los residuos siguen una serie de$1,11,29,4,0$ y este ciclo continúa. Por lo tanto,$n=5k$.

Answer 5

Si sabes cómo convertir un decimal recurrente en una fracción, esto es fácil. Es decir,$$0.\dot{a_1}\cdots\dot{a_n}=0.a_1a_2\cdots a_na_1a_2\cdots a_n\cdots=\frac{a_1a_2\cdots a_n}{10^n-1}.$ $ Por lo tanto, consideramos que$\frac{1}{41}=\frac{*}{9\cdots9}$, por lo que solo necesitamos calcular$$\frac{9}{41}=0.\dot{2}195\dot{1}.$$This implies $ n = 5k $.

Más explicación: Básicamente, desea encontrar$k$ tal que$41k=1\cdots1$, o$41k=9\cdots9$. En otras palabras, tenemos$$\frac{k}{9\cdots9}=\frac{1}{41},$$ which is a recurring decimal. On the other hand, we know that if you put some number as a numerator and put $ 9 \ cdots9$ as the denominator, it always gives you a recurring decimal. For example, $$\frac{5}{9}=0.555\cdots,\frac{5}{999}=0.005005\cdots,\frac{45}{999}=0.045045\cdots$$Thus, in order to find your $ n$, one just needs to find the recurring period, and $ n$ will be always a multiple of the period. For if $ n $ no es un múltiplo del período, obtendrá un período recurrente diferente, que no es posible.