Series infinitas con una constante - cálculo:$\sum_{x=1}^{\infty}\frac{c}{x(x+1)(x+3)}=1$

Question

Para continuar resolviendo un ejercicio relacionado con la probabilidad, tengo que extraer el valor de la constante$c$ de lo siguiente: (mientras que$x\in \mathbb{N}$)$$\sum_{x=1}^{\infty}\frac{c}{x(x+1)(x+3)}=1$ $

Mi primer paso fue descomponer lo anterior en las fracciones parciales:$c \cdot \sum_{x=1}^{\infty}{((\frac{1}{3x})-(\frac{1}{2(x+1)})+(\frac{1}{6(x+3)}))} = 1$

Luego, traté de combinar elementos de la serie para ver si puedo organizarlos de forma telescópica, pero eso también falló.

¿Podría por favor proporcionar una sugerencia o una manera de aproximarse a este cálculo de suma?

Answer 1

Sugerencia Observe que $$ \begin{align} \frac{3}{x(x+1)(x+3)}&=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)-\left(\frac{1}{2(x+1)}-\frac{1}{2(x+2)}\right)-\left(\frac{1}{2(x+2)}-\frac{1}{2(x+3)}\right) \end {align} $$ entonces califica muy bien al telescopio .