Verificar mis soluciones a los problemas de recuento

Question

Estoy bastante seguro de que conozco las respuestas a estos problemas, pero aún así quiero volver a comprobarlo.

1. ¿Cuántas formas diferentes hay de organizar todo las letras de la cadena CALCULUSBOOK ?
   Solución: $12!$ ya que queremos ordenar todas las letras. de lo contrario sería $\dfrac{12!}{2!2!2!2!}$ .

2. ¿Cuál es el coeficiente de $x^5$ en la expansión de $(3x - 1)^{11}$ ?
   Solución: según el teorema del binomio el coeficiente del binomio sería $\dbinom{11}5$ desde $(1-x)^k = \ldots+\dbinom{k}kx^k$

Por favor, verifíquelo, ¿es correcto o incorrecto?

Answer 1

1. Has entendido mal el significado de la palabra todo : simplemente significa que debes usar todos los $12$ cartas, no que debes considerar los dos $U$ por ejemplo, para que sean letras distinguibles. Por lo tanto, la respuesta correcta es en realidad $$\dfrac{12!}{2!2!2!2!}\;.$$

2. Has olvidado tener en cuenta el coeficiente de $3$ . Habrá $\binom{11}5$ términos de la forma $(3x)^5\cdot1^6$ pero en cada uno de ellos el coeficiente de $x$ es $3^5$ no $1$ por lo que su suma tiene un coeficiente de $\binom{11}53^5$ no $\binom{11}5$ .

Answer 2

1. Es el mismo número de formas de escribir CCALLUUSBOOK, que es igual:

$$ \frac{12!}{2!^4} = \frac{12!}{16} = 29937600 $$

(Porque hay cuatro letras que aparecen dos veces, que son indistintas, y doce letras en total)

1. No. Usa el teorema binomial más general:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^k b^{n-k} $$

Con $a=3x$ , $b=-1$ y luego evaluar la suma en $k=5$ (para obtener $x^5$ ).

Answer 3

Cuando abordo este tipo de problemas, me resulta muy útil reordenar la cadena de letras como tal: $$ \text{CC}\\ \text{A}\\ \text{LL}\\ \text{UU}\\ \text{S}\\ \text{B}\\ \text{OO}\\ \text{K}. $$ Puede parecer extraño, pero esto puede ayudar a evitar que cuente demasiado. Usted tiene $12$ letras en total, y tienes $4$ tipos de letras que tienen duplicados. Por lo tanto, tiene $$ \frac{12!}{2!2!2!2!} $$

---

Para tu segundo problema, ten en cuenta que la fórmula general del binomio es $$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k. $$ Así que aquí, usted puede simplemente tomar $x$ para ser $3x$ (perdón por el abuso de notación), y $y = -1$ . Entonces el coeficiente de $x^5$ es simplemente $$ (3^5)(-1)^6\binom{n}{k}. $$