Funcionalidad lineal continua en$\ell^{\infty}$

Question

Me gustaría ayuda para responder dos preguntas.

1) Probar que existe una función lineal continua en$\ell^\infty$ tal que$f(e_n)=0 \ \forall n \in \Bbb{N}$ y$f(a)=5$ donde$a=(1,1,1,1,1,1,\ldots)$.

2) Demuestre que no hay una función lineal continua en$\ell^\infty$ tal que$f(e_n)=0 \ \forall n \in \Bbb{N}$ y$f(a)=4$ para$a=(1,1/2,1/3,1/4,\ldots)$.

Nota:$e_n$ representa el punto$(0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0,0)$ con$1$ en la posición$n$ - th y el resto$0$ 's, es decir,$(e_n)=(\delta_{mn})$.

Gracias por adelantado.

Answer 1

La observación clave (para ambas preguntas) es que el subespacio Banach de$\ell^\infty$ generado por$\{e_1,e_2,\ldots\}$ es$c_0$.

Answer 2

Hay positiva continua funcionales en $\ell_\infty$, el mapa que cada secuencia convergente a su límite. De Banach límites son una clase de tales funcionales, consulte antes de ejemplo a esta pregunta. Otro ejemplo es el límite de una secuencia delimitada a lo largo de un ultrafilter, véase Wikipedia, esta respuesta o esta pregunta.

Para la segunda parte solo aviso que si $f(e_n)=0$, entonces también cada una de las $x_n=(1,1/2,1/3,\dots,1/n,0,0,\dots,0,\dots)$ se asigna a cero. Desde $f(x_n)=0$ e $a_n\to a$ en $\ell_\infty$, obtenemos $f(a)=0$.

Answer 3

Para la pregunta 1), podría proporcionar un ejemplo explícito de dicho funcional. Uno de estos ejemplos sería$f:\ell^\infty\to \mathbb{R}$ dado por $$ f (\ {x_n \}) = 5 \ cdot \ lim_ {n \ to \ infty} \ frac 1n \ sum_ {k = 1} ^ n x_k $$ Para los fines de su pregunta, es suficiente probar que$f$ es una función lineal limitada (es decir, continua) que satisface los criterios necesarios donde se define. A partir de ahí, uno debe usar el teorema de HB para extender$f$ para dar un funcional sobre$\ell^\infty$.