Prueba para convertir$\left\{\int_a^tf(x)dx\right\}^{n}$ a la multiplicación de integrales

Question

En un libro, el autor usa una relación como esta:
PS
¿Cómo puedo hacer una prueba para esto? ¿Qué condición en$$\left\{\int_a^tf(x)dx\right\}^{n} = n!\int_a^tf(x_1)dx_1\int_a^{x_1}f(x_2)dx_2\dots\int_a^{x_{n-1}}f(x)dx_{n}.$ es necesaria para que la ecuación se vuelva verdadera?

Gracias, Meysam.

Answer 1

Sugerencia: En el lado izquierdo, $x_1$, $x_2$,... $x_n$ puede tomar valores arbitrarios entre el $a$ e $t$, en el lado derecho, usted tiene $t\geq x_1\geq x_2\geq\dots\geq x_n\geq a$... y un factor de $n!$ que es el número de permutaciones de $n$ elementos.

Edit: se debe escribir primero $$\left(\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x\right)^n=\left(\int_a^tf(x_1)\,\mathrm{d}x_1\right)\cdots\left(\int_a^tf(x_n)\,\mathrm{d}x_n\right),$$ que vuelve a escribir $$\left(\int_a^tf(x)\,\mathrm{d}x\right)^n=\int_a^t\mathrm{d}x_1\dots\int_a^t\mathrm{d}x_n\;\;f(x_1)\dots f(x_n).$$ Las variables $x_1$, ..., $x_n$ en la integral son arbitrarias en orden. Ordenarlas en orden decreciente ($t\geq x_{\sigma(1)}\geq x_{\sigma(2)}\geq\dots\geq x_{\sigma(n)}\geq a$) donde $\sigma$ es una permutación de la $n$ enteros $1$,... $n$. El número de permutaciones es $n!$. Con estos elementos, usted debería ser capaz de concluir fácilmente.

Answer 2

La única condición que necesitamos es$f$ Lebesgue-integrable.

Asumo sin pérdida de generalidad que$a=0$ y$t=1$.

Defina$g(x_1,\dots,x_n):=f(x_1)\dots f(x_n)$,$I:=[0,1]^n$ y$S:=\{(t_1,\dots,t_n)\in I,0\lt t_1\lt\dots\lt t_n\lt 1\}$. Entonces$$I':=\{(t_i)_{i=1}^n,i\neq j\Rightarrow t_i\lt t_j\}=\bigsqcup_{\sigma\in\mathcal S_n}\{(t_1,\dots,t_n),(t_{\sigma(i)})_{i=1}^n\in S\}.$ $

Usando la simetría de$g$ y el hecho de que$I\setminus I'$ tiene la medida de Lebesgue$0$, podemos concluir.