Como preparación para el Teorema de Interpolación de Lagrange, tengo curiosidad por saber por qué una función racional puede ponerse en la siguiente forma.
Supongamos que $Q$ es un polinomio con raíces distintas $a_1,\dots,a_n$ y que $P$ sea un polinomio con $\deg(P)<n$ . Entonces, ¿por qué $$ \frac{P(x)}{Q(x)}=\sum_{i=1}^n\frac{P(a_i)}{Q'(a_i)(x-a_i)}? $$ Intenté expandir la suma de la mano derecha sobre un denominador común, pero se volvió horriblemente desordenado rápidamente. También intenté la inducción, asumiendo $Q$ tiene una sola raíz distinta, y por lo tanto $Q=C(x-a_1)^k $ . Pero entonces $\deg(P)<1$ Así que $P$ es constante, digamos $P=A$ . Pero entonces $$ \frac{P(a_1)}{Q'(a_1)(x-a_1)}=\frac{A}{kC(a_1-a_1)^{k-1}(x-a_i)} $$ lo que parece problemático si $k>1$ . ¿Cuál es la forma más hábil de concluir esta igualdad? Gracias,
