¿Qué son todos$m \in \mathbb N_{\geq 2}$ de modo que$\forall a \in (\mathbb Z_m^*): a^2 \equiv_m 1$? Consejos serían agradables :)
Esto no es tarea y pregunta 2.24 en "Introducción al álgebra" de J. Cameron.
Respuestas
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Por el teorema del resto chino, podemos restringirnos al caso donde$m$ es una potencia principal. Si$m$ es impar, debemos tener$2^2 \equiv 1 \pmod m$, por lo tanto,$m = 3$. Si$m = 2^k$, debemos tener$3^2 \equiv 1 \pmod m$, por lo tanto,$m|8$, es decir,$m \in \{2,4,8\}$. Así que las únicas posibilidades en las que$m$ es una potencia principal son$m=2,3,4,8$, y de hecho estas$m$ todas satisfacen$a^2 \equiv 1 \pmod m$ para todas las$a \in (\mathbb Z/m\mathbb Z)^*$. Según el teorema del resto chino, las soluciones de potencia no principal son$3\cdot 2, 3\cdot 4$ y$3\cdot 8.$
Resumiendo,$$a^2 \equiv 1 \pmod m \;\forall a \in (\mathbb Z/m\mathbb Z)^* \Leftrightarrow m= 2,3,4,6,8,12,24.$ $
DonAntonio
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Está claro que debe ser
PS
para algunos$$(\Bbb Z_m)^*\cong \prod_{j=1}^k C_2\;\;,\;\;C_2=\,\text{cyclic group of order}\,\,2$ para algunos$\,k\in\Bbb N\Longrightarrow\,\phi(m)=2^k\,$ naturales, por lo que las únicas opciones parecen ser$\,k\,$ según la estructura del grupo de unidades módulo$\,m=2,\,3,\,4,\,6,\,8\,12,\,24$
