Si , Entonces

Question

Deje que$a$,$b$ y$c$ sean números reales positivos con$abc=1$. Demuestre que $$\ frac {a ^ {n +2}} {a ^ n + (n-1) b ^ n} + \ frac {b ^ {n +2}} {b ^ n + (n-1) c ^ n} + \ frac {c ^ {n +2}} {c ^ n + (n-1) a ^ n} \ geq \ frac {3} {n}$$ para cada entero$n$.

He utilizado las desigualdades de Cauchy-Schwarz y la desigualdad de Jensen. Pero estoy atascado. Necesito alguna idea y consejo sobre este problema. La inducción sería cruel.

Answer 1

Usando AM-GM obtenemos (aquí$\sum$ denota sumas cíclicas):$$\sum \frac{a^{n+2}}{a^n+(n-1)b^n} =\sum \left( a^2- (n-1)\frac{a^2b^n}{a^n+(n-1)b^n}\right) \\ \ge \sum\left( a^2- (n-1)\frac{a^2b^n}{n \cdot a\cdot b^{n-1}}\right)= \sum a^2-\frac{n-1}n\sum ab

Entonces, es suficiente para demostrar que$$n \sum a^2 \ge (n-1)\sum ab+3 que sigue de$\sum a^2 \ge \sum ab$ y$\sum a^2 \ge 3$ por AM-GM.

Answer 2

Puede ver que cada término tiene un valor$\frac{1}{n}$ en el caso$a = b = c = 1$. Intente demostrar que cambiar una de las variables (deje que$a > 1$,$b < 1$,$c < 1$ sea el primer caso y$a > 1$,$b > 1$,$c < 1$ - el segundo y$a > 1$,$b < 1$,$c > 1$ - el tercero) aumenta la suma total.