Karatzas y el problema de Shreve 3.3.38

Question

Deje $X$ ser un proceso continuo y $A$ un continuo y creciente proceso de con $X_0 = A_0 = 0$, un.s.

Supongamos que para cada $\theta \in \mathbb{R}$, el proceso de

$$Z_t^{\theta} = \exp\left(\theta X_t - \frac{1}{2}\theta^2 A_t\right)$$

es una martingala local. Demostrar que $X$ es la constante de martingala y cuadrático de variación de $X$ es $A$.

Mi intento :

$$X_t = \ln (Z_t^1)+\frac{1}{2}A_t$$

lo que significa que $X_t$ es continua semimartingale (desde $Z_t^1$ es una martingala local y $A_t$ es de variación acotada). Puede que algunos que ahora me ayudan a demostrar que el $X_t$ es en realidad un local de martingala. Gracias!

Answer 1

En primer lugar, permítanme decir que fue un poco más complicado de lo que yo pensaba en un principio (se necesita más que sólo una $\theta$).

Como usted ha notado $X_t$ es un continuo semi-martingala, por lo que tiene una descomposición en locales de martingala parte $X^m$, además de un número finito de la variación de la parte $X^f$.

Ahora por Itô en $Z^\theta_t=f_\theta(X_t,A_t)$ consigue :

$$\frac{\mathrm dZ^\theta_t}{Z^\theta_t}=\theta\cdot\mathrm X^m_t+\frac{\theta^2}{2}(\mathrm d\langle X\rangle_t-\mathrm dA_t)+\theta\cdot\mathrm dX^f_t.$$

Como por hipótesis de $Z^\theta_t$ es un continuo local martingala para cada $\theta$, la variación finita parte de sus sde debe ser casi seguramente null.

Así que esto conlleva a que $\theta.X^f_t+\frac{\theta^2}{2}(\langle X\rangle_t-A_t)=0$ casi seguramente. Por favor, observe que $Z^\theta_t>0$ es importante.

Usted obtener a partir de este primero que $X^f_0=0$ lo $X^m_0=0$, en segundo lugar, si usted tome $\theta>0 $ e $-\theta$, se obtiene que ese $X^f=0$, luego la tercera $\theta=1$ conseguir $\langle X\rangle_t=A_t$, de modo que $A_t$ es de hecho la variación cuadrática de $X$.

Saludos