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Karatzas y el problema de Shreve 3.3.38

Deje X ser un proceso continuo y A un continuo y creciente proceso de con X0=A0=0, un.s.

Supongamos que para cada θR, el proceso de

Zθt=exp(θXt12θ2At)

es una martingala local. Demostrar que X es la constante de martingala y cuadrático de variación de X es A.

Mi intento :

Xt=ln(Z1t)+12At

lo que significa que Xt es continua semimartingale (desde Z1t es una martingala local y At es de variación acotada). Puede que algunos que ahora me ayudan a demostrar que el Xt es en realidad un local de martingala. Gracias!

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c00p3r Puntos 31

En primer lugar, permítanme decir que fue un poco más complicado de lo que yo pensaba en un principio (se necesita más que sólo una θ).

Como usted ha notado Xt es un continuo semi-martingala, por lo que tiene una descomposición en locales de martingala parte Xm, además de un número finito de la variación de la parte Xf.

Ahora por Itô en Zθt=fθ(Xt,At) consigue :

dZθtZθt=θXmt+θ22(dXtdAt)+θdXft.

Como por hipótesis de Zθt es un continuo local martingala para cada θ, la variación finita parte de sus sde debe ser casi seguramente null.

Así que esto conlleva a que θ.Xft+θ22(XtAt)=0 casi seguramente. Por favor, observe que Zθt>0 es importante.

Usted obtener a partir de este primero que Xf0=0 lo Xm0=0, en segundo lugar, si usted tome θ>0 e θ, se obtiene que ese Xf=0, luego la tercera θ=1 conseguir Xt=At, de modo que At es de hecho la variación cuadrática de X.

Saludos

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