Problema de aplicación de L'Hopital

Question

Supongamos que $f(x)$ es una función dos veces diferenciable tal que $\lim_{x\to 3}\dfrac{12x-36}{3f(x)-6}=-1$ . Encuentra la ecuación de la recta tangente a $f(x)$ en $x=3$ .

Escriba su respuesta en el formulario $\verb#y=mx+b#$ .

Mi problema con esto es que he tratado de simplificarlo múltiples veces pero sigo llevando irracionalmente a 0=-1. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Si $$\lim_{x\to 3}\dfrac{12x-36}{3f(x)-6}=-1$$ entonces debe ser $f(3)=2.$ ¿Por qué?

Entonces, de la regla de L'Hôpital es

$$\lim_{x\to 3}\dfrac{12x-36}{3f(x)-6}= \lim_{x\to 3}\dfrac{12}{3f'(x)}=-1$$ de donde se deduce que $f'(3)=-4.$

Por lo tanto, la línea tangente a $f(x)$ en $x=3$ es

$$y-f(3)=f'(3)(x-3)\implies \cdots$$

Answer 2

No necesitamos ninguna condición en $f$ aparte del hecho de que $f$ es continua en $3$ (por cierto, hay que tener en cuenta que la continuidad es esencial, de lo contrario no tiene sentido hablar de tangente en $x=3$ ). A partir del límite dado podemos ver fácilmente que $$\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-2} {x-3}=-4\tag{1}$$ y esto significa que $\lim_{x\to 3}f(x)=2$ . Asumiendo la continuidad obtenemos $f(3)=2$ . Y luego de $(1)$ tenemos $$f'(3)=\lim_{x\to 3}\frac{f(x)-f(3)}{x-3}=-4$$ y por lo tanto la tangente en $x=3$ viene dada por $$y-f(3)=f'(3)(x-3)$$ o $y=-4x+14$ .

---

Nota : Este enfoque ya es dado por el usuario "MyGlasses" a través de un comentario (que vi después de publicar esta respuesta) a la pregunta.