Demostrar $1.43 < \displaystyle \int_0^1 e^{x^2} \mathrm{d}x < \frac{e+1}{2}$

Question

Demostrar $$1.43<\int_0^1 e^{x^2} \mathrm{d}x<\frac{e+1}{2}$$

Lo que yo hice;

Como no tengo idea de cómo acercarse a la izquierda de la desigualdad yo trabajo con $$\int_0^1 e^{x^2} \mathrm{d}x<\frac{e+1}{2} \iff \int_0^1 e^{x^2} \mathrm{d}x<\int_0^1 \frac12 (e+x)\mathrm{d}x \iff e^{x^2}<\frac12(e+x) \iff x^2<\log (e+x)-\log 2$$

No sé cómo proceder.

Answer 1

Sugerencia: Usted debe ser capaz de conseguir a la desigualdad en la $1.43\lt\int_0^1 e^{x^2}dx$ a partir de

$$e^{x^2}\gt1+x^2+{1\over2}x^4+{1\over6}x^6+{1\over24}x^8+\cdots+{1\over n!}x^{2n}$$

para algunos de truncamiento $n$.

Añadido posterior: he Aquí una manera de obtener el límite superior. Utilizando el hecho de que $x^2\le x$$0\le x\le1$$e\lt3$, uno tiene

$$\int_0^1e^{x^2}\,dx\le\int_0^1e^x\,dx=e-1\lt{e+1\over2}$$

Answer 2

Tenemos: $$\int_{0}^{1}e^{x^2}\,dx = e\cdot\int_{0}^{1}e^{1-x^2}\,dx = e\cdot\int_{0}^{1}e^{x(2-x)}\,dx=2e\cdot\int_{0}^{1/2}e^{4x(1-x)}\,dx$$ y puesto que: $$ e^z = \sum_{j=0}^{+\infty}\frac{z^j}{j!} $$ tenemos: $$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}e^{x^2}\,dx &=& 2e\cdot\int_{0}^{1/2}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{(-1)^j(4x(1-x))^j}{j!}\,dx =2e\cdot\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{(-4)^j B(1/2,j+1,j+1)}{j!}\\&=&\frac{e}{2}\sum_{j=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{j+1}4^j}{j!\binom{2j}{j}}=\frac{e\sqrt{\pi}}{2}\sum_{j=0}^{+\infty}\frac{(-1)^j}{\Gamma(j+3/2)}.\end{eqnarray*}$$ (ver esta pregunta acerca de una identidad propia de la función Beta incompleta)

Sumando los términos de la a a $j=5$ en la última serie, se obtiene: $$1.469\ldots = \frac{73}{135}e\geq \int_{0}^{1} e^{x^2}\,dx \geq \frac{207}{385}e = 1.461\ldots. $$

Answer 3

A la derecha de la desigualdad en realidad, sigue a partir de ese $f(x)=e^{x^2}$ es convexa y $f(0)=1$, $f(1)=e$.

Como a la izquierda de la desigualdad, creo que el mejor enfoque consiste en pedirle a WolframAlpha porque ninguna buena solución parece posible. De hecho, $\int_0^1 f(x)dx$ difiere de $1.43$$0.03$.

Answer 4

También puede obtener el límite superior de la integración de la fácil desigualdad $e^{x^2}\le 1+xe^{x^2}$ $[0,1]$ (el último es el equivalente a $e^{x^2}\le 1/(1-x)$ $[0,1]$ cual es claro en términos de poder de la serie de expansiones).