En un factor determinante para demostrar $xyz = -1$

Question

Si se nos da el siguiente determinante $$\begin{vmatrix} x^3+1 & x^2 & x \\ y^3+1 & y^2 & y \\ z^3+1 & z^2 & z \\ \end{vmatrix}=0$$

y $x, y, z$ son todos diferentes, entonces tenemos que probar que $xyz = -1$.

Traté de ampliar el determinante, sino el uso que se está haciendo demasiado complicado.

Answer 1

Esquema:

(1) Romper el determinante como una suma de dos determinantes basado en la división de el $+1$ términos.

(2) dado El determinante puede ahora ser expresado como $xyzD + D = D(xyz + 1)$.

(3) Muestran que la $D=-(x - y)(y - z)(z - x)$ [buscar matriz de Vandermonde]

(4) Desde $x,y,z$ son distintos, $D$ es distinto de cero.

(5) Puesto que el dado por el determinante es $0$, se deduce que el $xyz=-1$.

Answer 2

Esta es mi respuesta (que seguro que no es el mejor enfoque). La aplicación de cofactores tenemos

$$(x^3+1)\begin{vmatrix}y^2 & y\\z^2 & z\end{vmatrix}-x^2\begin{vmatrix}y^3+1 & y\\z^3+1 & z\end{vmatrix}+x\begin{vmatrix}y^3+1 & y^2\\z^3+1 & z^2\end{vmatrix}=0.$$

Después de algunas operaciones obtenemos $$(x^3+1)yz(y-z)-x^2(y-z)(yz(y+z)-1)+x(y-z)(y^2z^2-y-z)=0.$$ Then $$(y-z)(x^3yz+yz-x^2y^2z-x^2yz^2+x^2+xy^2z^2-xy-xz)=0.$$

Desde $y\neq z$, podemos deducir que $x^3yz+yz-x^2y^2z-x^2yz^2+x^2+xy^2z^2-xy-xz=0$. Finalmente podemos factorizar el lado izquierdo y obtenemos $$xyz(x^2-xy-xz+yz)+(x^2+yz-xy-xz)=(x^2-xy-xz+yz)(xyz+1)=$$ $$=(x-z)(y-z)(xyz+1)=0.$$

Pero $x\neq y$ e $x\neq z$, por lo tanto debe ser $xyz+1=0$, es decir, $xyz=-1$.

Answer 3

Sugerencia:

Se aplican $R'_2=R_2-R_1$ e $R'_3=R_3-R_1$ encontrar

$$\begin{vmatrix} x^3+1 & x^2 & x \\ y^3+1 & y^2 & y \\ z^3+1 & z^2 & z \\ \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} x^3+1 & x^2 & x \\ y^3-x^3 & y^2-x^2 & y-x \\ z^3-x^3 & z^2-x^2 & z-x \\ \end{vmatrix}$$ $$=(y-x)(z-x)\begin{vmatrix} x^3+1 & x^2 & x \\ y^2+xy+x^2 & y+x &1 \\ z^2+zx+x^2 & z+x &1 \\ \end{vmatrix}$$

Aplicar ahora $R_3'=R_3-R_2$ $$\begin{vmatrix} x^3+1 & x^2 & x \\ y^2+xy+x^2 & y+x &1 \\ z^2+zx+x^2 & z+x &1 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x^3+1 & x^2 & x \\ y^2+xy+x^2 & y+x &1 \\ z^2-y^2+zx-xy & z-y &0 \\ \end{vmatrix}=(z-y)\begin{vmatrix} x^3+1 & x^2 & x \\ y^2+xy+x^2 & y+x &1 \\ z+y+x & 1 &0 \\ \end{vmatrix}$$

Finalmente $R_1'=R_1-x\cdot R_2$ $$\begin{vmatrix} x^3+1 & x^2 & x \\ y^2+xy+x^2 & y+x &1 \\ z+y+x & 1 &0 \\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1-xy(x+y) & -xy &0 \\ y^2+xy+x^2 & y+x &1 \\ z+y+x & 1 &0 \\ \end{vmatrix}=?$$