Acerca de la retirada de una $1$-forma

Question

Supongamos que $M$, $N$ son suaves, colectores, $f: M\to N$ es un buen mapa. Deje $X$ ser un campo de vectores en $N$, que es la función que asigna a cada una de las $n\in N$ un vector $X_n\in T_n N$, y deje $\omega$ ser el liso $1$-forma en $N$ dual para que el vector de campo: $\omega(n)(X_{n})=1$ siempre $X_{n}\in T_{n} N$. Ahora $f^\ast\omega$ es un buen $1$-forma en $M$ definido por $(f^\ast\omega)(m)(Y_m)=\omega(f(m))(f_\ast Y_m)$ donde $Y_m\in T_mM$. Desde $f_\ast Y_m\in T_{f(m)} N$, se deduce de la definición que $\omega(f(m))(f_\ast Y_m)=1$ e lo $f^\ast \omega \equiv 1$, que es un $0$-forma. Pero, ¿cómo puede ser esto posible si $f^\ast\omega$ se supone que es un $1$-forma?

Answer 1

Mi interpretación de su confusión es la siguiente:

• Que $\omega_n(X_n)=1$ para todos los $n\in N$. Esto es para un particular (fijo) campo vectorial $X$. Aquí, usted afirma que esto es cierto siempre que $X_n\in T_nN$, es decir, $n\in N$.

• Más tarde, el estado que $\omega_{f(m)}(f_\ast Y_m)=1$, y parece que tu razonamiento es que esto es cierto debido a que $f_\ast Y_m\in T_{f(m)}N$.

• El problema con este razonamiento es que la condición anterior no es que $X_n\in T_nN$ (esto es automático por el hecho de que $X$ es un campo de vectores). Sólo estará garantizado para conseguir $\omega_{f(m)}(f_\ast Y_m)=1$ si $f_\ast Y_m=X_{f(m)}$. No hay ninguna razón para que esto sea cierto.

Lo que parece ser el caso es que usted está usando la condición de $X_n\in T_nN$ como la definición de $\omega_n(X_n)=1$, en otras palabras, $\omega_n(X_n)=1$ siempre $X_n$ es un vector, por lo $\omega$ es la función constante, lo cual no es cierto.