Cómo es un sistema formal que incluye únicamente a una de primer orden axiomatization de inducción más fuerte que un sistema sin?

Question

Tropezó con otro aspecto de la aritmética de Peano que me parece confuso...

Entiendo que lo que escribo en el título es de hecho el caso, por ejemplo, algunas de las declaraciones demostrable en PA no ser comprobable en Robinson aritmética, por ejemplo.

También puedo ver cómo una de segundo orden axiomatization de inducción (como en Peano original de los axiomas) hace una diferencia crucial por la exclusión de la no-estándar en los modelos de los axiomas.

Pero no acabo de ver cómo una de primer orden axiomatization de la inducción nos permite mostrar nada acerca de $\mathbb{N}$ más allá de lo que la misma teoría sin la inducción no.

Puedo pedirle que me muestre a donde me vaya mal con la siguiente informal argumento:

(Me voy a referir a los axiomas de la PA excluyendo el axioma esquema de inducción como el de los "axiomas básicos' de PA, es decir, "existe un x s.t. 0 = x", "Para todo x existe un y s.t. S(x) = y", y así sucesivamente.)

1. Considere la posibilidad de cualquier de primer orden definibles la propiedad P que tiene para todos los n en $\mathbb{N}$. Esta propiedad está totalmente caracterizado por la "axiomas básicos' de PA, ya que estos definen las propiedades relevantes de los números naturales - aunque no de forma exclusiva las caracterizan.

2. Ahora considere la posibilidad de PA sin la inducción: los axiomas básicos de garantizar que todos los elementos del dominio tienen estas características, tanto en el modelo estándar y no estándar de los modelos. En particular, en el no-modelo estándar, los elementos que no son números naturales aún debe seguir los axiomas básicos, desde los axiomas de alcance sobre todo el dominio de la interpretación.

3. Pero entonces, en todos los modelos, los axiomas básicos para mantener todos los elementos, por lo que cualquier relevantes de primer orden de la propiedad se define sobre la base de estos axiomas se mantenga. Desde el PA (con o sin inducción) es de primer orden de la teoría, no debe ser una prueba de la declaración, de primer orden la integridad.

Parafraseando, no acabo de entender cómo todos los modelos de PA (incluyendo la no-estándar) pueden satisfacer tanto las propiedades básicas de los números naturales descritos por la no inducción de axiomas, y al mismo tiempo contener elementos que no todas las propiedades de primer orden de los números naturales mantenga. Por ejemplo, el artículo de la Wikipedia en Robinson aritmética de las comillas de Burgess, la Fijación de Frege:

Del mismo modo, no se puede demostrar que Sx ≠ x

Esta propiedad ya que parece ser definido por los axiomas que demanda que cada elemento tiene un sucesor, y que la función sucesor es una inyección, por lo tanto, independientemente de la inducción axioma, parece que debe universalmente retención (para el estándar y no estándar de los elementos del dominio). Pero entonces, parece que también debe ser comprobable, por la integridad de nuestro primer orden de la teoría.

Answer 1

Lo que va mal con su argumento es que lo que llaman la "axiomas básicos" de PA admitir modelos que son excluidos por la inducción de los axiomas. Por ejemplo, supongamos $\mathbb{N}_{\infty}$ ser la estructura de la lengua de la PA con el conjunto subyacente $\mathbb{N} \cup \{\infty\}$ con la aritmética habitual en $\mathbb{N}$ y con $\infty + x = x + \infty = \infty$, $0\times \infty = \infty\times 0 = 0$, $S(x)\times\infty=\infty\times S(x) = \infty$ para cualquier $x$, e $S(\infty) =\infty$. A continuación, $\mathbb{N}_{\infty}$ es un modelo de Robinson axiomas que no satisface $S(x) \neq x$. Por lo $\mathbb{N}_{\infty}$ es un modelo de Robinson axiomas que no es un modelo de PA.