Demuestre que la función es medible por Lebesgue

Question

Dejemos que $f:[0,1] \to \mathbb R$ sea integrable en Lebesgue. Supongamos que $f$ es diferenciable en $x=0$ y $f(0)=0$ . Demuestre que la función $g:[0,1] \to\mathbb R$ definido por $g(x)=x^{-3/2}f(x)$ para $x\in (0,1]$ y $g(0)=0$ es integrable en Lebesgue.

Estoy estudiando para los exámenes finales y estoy tratando de entender esta pregunta. ¿Utilizarías el teorema de Lebesgue-Vitali que dice: Una función acotada $f:[a,b] \to\mathbb R$ ¿es Riemann integrable si y sólo si es continuo en casi todas partes? ¿o este problema tiene que ver con las particiones, más concretamente con la malla? se agradecería cualquier ayuda

Answer 1

Sólo intentas demostrar que es integrable.

Sabemos que $g$ es medible porque las funciones $x \mapsto x^{-{3 \over 2} } 1_{(0,1]}(x)$ y $f$ son.

Desde $f$ es diferenciable en $x=0$ y $f(0) = 0$ sabemos que para algunos $K$ y $\delta>0$ tenemos $|f(x)| = |f(x)-f(0)| \le K |x-0| = K|x|$ para cualquier $x \in [0,\delta)$ .

Por lo tanto, tenemos $|g(x)| \le |x^{-{3 \over 2} } | K |x|= K {1\over \sqrt{|x|}}$ para todos $x \in (0,\delta)$ .

Además, como $x \mapsto x^{-{3 \over 2} }$ es decreciente en $(0,1]$ tenemos $0\le |g(x)| \le ({\delta \over 2})^{-{3 \over 2}} |f(x)|$ para todos $x \ge {\delta \over 2}$ .

Combinando, vemos que \begin {eqnarray} \int |g| & \le & \int_ {[0,{ \delta \over 2})}|g| + \int_ {[{ \delta \over 2},1}|g| \\ & \le & \int_0 ^{ \delta \over 2}K {1 \over \sqrt {x}} dx + ({ \delta \over 2})^{-{3 \over 2}} \int_ {[{ \delta \over 2},1} |f| \\ &=& \sqrt { \delta \over 2}K+{ \delta \over 2}^{-{3 \over 2}} \int |f| \end {eqnarray} y así $g$ es integrable.