Preguntas sobre Stinespring del teorema completamente positivo mapas

Question

Tengo una pregunta acerca de Stinespring del Teorema:

Deje $A$ ser $C^*$-álgebra, $H$ ser un espacio de Hilbert complejo y $L(H)$ el conjunto de limitada lineal de operadores en H. Deje $\Phi: A\to L(H)$ ser completamente positivo mapa. Entonces existe un complejo espacio de Hilbert $K$, a $*$-homomorphism $\pi:A\to L(K)$ y un almacén lineal mapa de $V:H\to K$ tal que $$\Phi(a)=V^*\pi(a)V,$$ for all $un\en Un$. Además, hemos $\|\Phi\|=\|V\|^2$. Si es unital, $\phi$ es unital y si $\phi(e_A)=Id_{L(H)}$, V es isométrica. En este caso se puede considerar H como un sub-hilbertspace de K y es $\phi(a)=P_H\pi(a)_{|H}$ para todos los $a\in A$. Aquí es $P_H$ la proyección de K en H.

Mis preguntas son: Es $V^*V\le Id_{L(H)}$ cierto en general? Esto es equivalente a probar que $\langle Id-V^*Vx,x\rangle \ge 0$ para todos los $x\in H$ y esto significa $\|x\|\ge \|Vx\|$ para todos los $x\in H$. Pero no creo que esto es cierto en general para la V en Stinespring del Teorema.

Y por qué "En este caso ... es $\phi(a)=P_H\pi(a)_{|H}$ para todos los $a\in A$" verdad? Lo único que sé es si $V$ es una isometría, es $V^*V=Id_{L(H)}$.

Le agradezco su ayuda. Saludos

Answer 1

Por supuesto que no es cierto en general. Como usted ha mencionado, $\|V\|^2=\|\Phi\|$, por lo que si $V^*V\leq\text{Id}_{L(H)}$, esto implica que $\|\Phi\|\leq1$.

La igualdad de $\Phi(a)=P_H\,\pi(a)|_H$ no es realmente una igualdad; no es un unitario colgando, pero no vale la pena escribir. Lo que sucede es esto: si $\Phi$ es unital, a continuación, $V$ es una isometría. Por lo $H_0=VH$ es un subespacio de $K$, isomorfo a $H$; y si nos restringimos el codominio de $V$ a$H_0$,, a continuación, $V$ es bijective. También, $VV^*\in L(K)$ es una proyección, porque $VV^*VV^*=VV^*$. Para $\xi\in H_0$, tenemos $\eta=V^*\xi\in H$, e $VV^*\xi=\xi$. Para $\xi\in H_0^\perp$ e $\nu\in H_0$, $$ \langle VV^*\xi\nu\rangle=\langle\xi,VV^*\nu\rangle=\langle\xi\nu\rangle=0. $$ Por lo $VV^*$ mapas de $H_0^\perp$ a cero, lo que demuestra que $VV^*=P_{H_0}$. Ahora, para $\xi\in H_0$ e $\eta=V^*\xi\in H$, $$ P_{H_0}\pi(a)\xi=VV^*\pi(a)V\eta=V\Phi(a)\eta=V\Phi(a)V^*\xi. $$ Así, en $H_0$, $P_{H_0}\pi(a)=V\Phi(a)V^*$ donde $V$ es un unitario $H\to H_0$. En otras palabras, hasta un unitario que implementa el isomorfismo entre el $H$ e $H_0$, $$ P_{H_0}\pi(a)|_{H_0}=\Phi(a). $$