Encontrar la probabilidad para los casos generales

Question

Para un estudiante para calificar, debe pasar al menos dos de los tres exámenes. La probabilidad de que pase el 1er examen es $p$. Si se produce un error en uno de los exámenes, la probabilidad de pasar en el próximo examen es $p/2$ de lo contrario, sigue siendo el mismo. Encontrar la probabilidad de que se va a calificar. Mi libro de texto de respuesta dice $2p^2 – p^3$. Esto es posible si solamente los siguientes casos se consideran:

1. Él pasa a primer y segundo examen.
2. Él pasa la primera, se produce un error en el segundo, pero pasa tercer examen.
3. Se produce un error en la primera, pasa a segundo y tercer examen.

Pero creo que esto es incorrecto ya que al menos dos de los tres exámenes de medios,pasando en primer, segundo y tercer examen está incluido. Por favor alguien resolver esta paradoja.

Answer 1

Ver la probabilidad diagrama de árbol:

La adición de la fase de clasificación probabilidades, se obtiene: $$p^3+p^2(1-p)+p(1-p)\cdot \frac p2+(1-p)\cdot \frac p2 \cdot p=2p^2-p^3.$$

Answer 2

Obtengo: p^2 + (1-p)(p/2)p + p(1-p)(p/2)

Que es (pass pass cualquiera) + (fail pass pass) + (pass fail pass), y como puedes ver hay casos son dobles cuentan aquí. Si, a continuación, expanda los (1-p) términos y recoger juntos, entonces es el mismo que el libro de texto de respuesta.

Answer 3

El PP ha probabilidad de $p^2$.

La APP tiene probabilidad de $p(1-p)\frac12p$.

FPP ha probabilidad de $(1-p)\frac12pp$

Sumatoria de probabilidad de $2p^2-p^3$ a calificar.

Answer 4

Los tres pasaron: $p^3$. Primera y segunda pasada, tercer error: $p^2(1-p)$. Pasa primero, segundo error, tercer pasado: $p(1-p)p/2$. Primer error, los dos siguientes de aprobado: $(1-p)(p/2)^2$. A continuación, agregue todos los cuatro de probabilidades. La respuesta sería la $7p^2/4-3p^3/4$.

La ACTUALIZACIÓN. Yo lo entendí así que si una vez no se pudo, la probabilidad de éxito se mantiene en la mayoría de las $p/2$. Pero supongo que esto no es correcto. Para el caso de que "el Primer error, dos próximos pasados" conduce a $(1-p)(p/2)p$ y el conjunto de la probabilidad es, de hecho,$2p^2-p^3$. El problema está mal dicho, por el camino.

Answer 5

Permítanme indicar por $E_i$ el caso de un Examen "$i$ ha pasado" y deje $\overline{E}_i$ ser su complemento. A continuación, usted sabe que $P(E_1)=p$, $P(E_2| \overline{E}_1 ) = P(E_3| \overline{E}_1 \cap \overline{E}_2 ) = P(E_3| \overline{E}_1 \cap E_2 ) = P(E_3| E_1 \cap \overline{E}_2 ) = p/2$ y $P(E_2| E_1 ) = P(E_3| E_1 \cap E_2 ) = p$.

Por $\sigma$-addivity, se desea calcular la probabilidad $$ A=P(E_1\cap E_2 \cap E_3) + P(E_1\cap E_2\cap \overline{E}_3) + P(E_1\cap \overline{E}_2 \cap E_3) + P(\overline{E}_1 \cap E_2\cap E_3).$$ Vamos a calcular cada término: $$ P(E_1\cap E_2 \cap E_3) = P(E_3 | E_1\cap E_2) P(E_1\cap E_2) = p P( E_2 | E_1) P(E_1) = p^3 $$ $$ P(E_1\cap E_2\cap \overline{E}_3) = P(\overline{E}_3 | E_1\cap E_2) P( E_2 | E_1) P(E_1) = (1-p) p^2 $$ $$ P(E_1\cap \overline{E}_2 \cap E_3) = P(E_3 | E_1\cap \overline{E}_2) P(E_1\cap \overline{E}_2) = \frac{p}{2} P(\overline{E}_2 | E_1) P(E_1) = \frac{p}{2} (1-p) p $$ $$ P(\overline{E}_1 \cap E_2\cap E_3) = P(E_3 | \overline{E}_1 \cap E_2 ) P (\overline{E}_1 \cap E_2) = \frac{p}{2} P(E_2|\overline{E}_1) P(\overline{E}_1) = \frac{p^2}{4}(1-p) $$ En resumen, podemos obtener $$ A = p^3 + (1-p) p^2 + \frac{p}{2} (1-p) p + \frac{p^2}{4}(1-p) % = p^3 + p^2 - p^3 + \frac{p^2-p^3}{2} + \frac{p^2}{4} - \frac{p^3}{4} % = p^2 + 3 p^2 \frac{1-p}{4} % = p^2 + \frac{3 p^2}{4} - \frac{3 p^3}{4} = \frac{7 }{4}p^2 - \frac{3 }{4} p^3 $$