Singularidad y degeneración de la solución de $p$ -Ecuación de Laplace

Question

Estoy trabajando en $p$ -Ecuación de Laplace. es decir $$-\Delta_p u=\operatorname{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)$$ No sé cuando decimos que una EDP tiene solución singular y cuando, tiene solución degenerada?

por qué tiene una solución singular para $p<2$ y degenerado para $p>2$ . En realidad mi problema es que no sé cuál es la diferencia entre solución degenerada y singular.

por favor, ayúdame.

Answer 1

Creo que estas palabras describen la estructura de las ecuaciones en los puntos críticos de $u$ , donde $|\nabla u|=0$ . Recordemos que $p$ -Las funciones armónicas son $C^{1,\alpha}$ (este es un resultado difícil, véase el comienzo del capítulo 4 en Notas sobre la ecuación de p-Laplace de Peter Lindqvist). Pensemos en $|\nabla u|^{p-2}$ como coeficiente $\sigma$ en PDE lineal $\operatorname{div}(\sigma \nabla u)=0$ . En los puntos donde $\nabla u$ no desaparece, $\sigma$ es continua de Hölder, y las estimaciones de Schauder (capítulo 6 de Gilbarg-Trudinger) conducen a la siguiente prueba "bootstrap" de mayor regularidad:
$$\sigma\in C^{\alpha}\implies u\in C^{2,\alpha}\implies \sigma\in C^{1,\alpha} \implies u\in C^{3,\alpha}\implies \dots$$ y concluimos que $u\in C^\infty$ . Lo anterior se rompe en los puntos críticos de $u$ pero la naturaleza del problema es diferente según $p$ :

• si $p<2$ entonces $\sigma\to \infty$ como $\nabla u\to 0$ . El coeficiente es singular .
• si $p>2$ entonces $\sigma\to 0$ como $\nabla u\to 0$ . El coeficiente es degenerado .

El mencionado capítulo 4 de las notas de Lindqvist es una buena ilustración de cómo los casos $p<2$ y $p>2$ deben ser tratados de forma diferente.

¿Qué caso es peor? Supongo que depende de a quién se le pregunte. Uno puede incluso dualizar el problema para convertir entre los dos casos, pero esto requiere la consideración de formas diferenciales en lugar de funciones escalares. Aquí hay una cita relevante de D'Onofrio-Iwaniec :

La dualidad de Hodge es un recurso eficaz, ya que reduce la $p$ -sistemas de tipo armónico con el caso inconveniente $p<2$ a la $q$ -sistemas de tipo armónico con el caso preferente $q>2$ . Sin embargo, hay que tener cuidado porque en la dimensión superior a $2$ el dual de Hodge de un escalar $p$ -La ecuación de tipo armónico es una $q$ -sistema de tipo armónico.