Cálculo de la convolución de un papel de Michael Cristo

Question

No entiendo Lema 2 del documento de Hilbert lo largo de las curvas, II: żun caso de Michael Cristo. La situación es la siguiente. Estoy ligeramente simplificado desde el contexto exacto en el origen.

Deje $\zeta\in C_0^\infty([-1,1])$ e $\zeta\equiv 1$ a $[-1/2,1/2]$. Deje $$a_k(\xi,\eta)=\zeta(2^{-k}\xi)\zeta(2^{-2k}\eta),$$ $$b_k=a_k-a_{k-1}.$$

Lema. Deje $f$ estar apoyado sobre un rectángulo $R$ de las dimensiones de $(2^{-k},2^{-i})$ donde $k\ge 0$ e $i\in \{2k,2k-1\}$ y tienen valor medio cero. A continuación, tenemos para todos los $0\le j\le k$, $$\|f*\check{b}_j\|_1\le C 2^{j-k} \|f\|_1.$$

Aquí $\check{f}$ denota la inversa de la transformada de Fourier de $f$.

Tenga en cuenta que $i,j,k$ siempre denotan números enteros aquí.

Cristo dice este Lema de la siguiente manera en una "rutina de la moda" de Taylor teorema de los límites superior e para los derivados de la $b_j$. Él no da más detalles.

Pero no he sido capaz de hacerlo. He intentado colarse en un $\check{b}_j$, usando el valor medio de la propiedad de $f$ y, a continuación, aplicar la fórmula de Taylor, pero no parece funcionar fuera de la derecha. También me pregunto si es importante que hay un $b_j$ en el Lexema o si el $a_j$ realmente funciona igual de bien.

Puede usted ayudarme por favor?

Answer 1

Como daw ya se ha indicado

$$ f* \check{b}_j(x) = \int f(y) \check{b}_j(x -y) \mathrm{d}y =\int f(y) [\check{b}_j(x-y) - \check{b}_j(x - y_0)] \mathrm{d}y $$

por la restricción en el valor de la media; aquí $y_0$ es algún punto fijo en el soporte de $f$. Observar, además, que desde el teorema fundamental del cálculo, vamos a $\gamma$ ser definidas a trozos $C^1$ ruta con puntos finales en $-y_0$ e $-y$, tenemos

$$ \check{b}_j(x-y) - \check{b}_j(x - y_0) = \int_0^1 \dot{\gamma}(s) \cdot (\partial\check{b}_j)[x + \gamma(s)] ~ \mathrm{d}s $$

Así que expandir y cambiar el orden de integración de Fubini nos han

$$ \| f * \check{b}_j \|_1 \leq \int |f(y)| \int_0^1 \int |\dot{\gamma}(s)\cdot\partial \check{b}_j(x +\gamma(s))| \mathrm{d}x ~\mathrm{d}s ~ \mathrm{d}y $$

Ahora para cada uno de ellos fijo $y$, tomamos un camino de $\gamma$, que va primero verticalmente (al que llamaremos $\gamma_2$) y no en horizontal (a la que llamamos $\gamma_1$). Por supuesto, con el apoyo de $f$ la longitud vertical de $\gamma$ es en la mayoría de las $2 * 2^{-2k}$. Sobre esa porción $\dot{\gamma}\cdot \partial \check{b}_j$ está tomando la derivada parcial con relación al segundo componente. Y en la porción horizontal sabemos que la suposición de que la longitud es en la mayoría de las $2^{-k}$ y la derivada es la derivada parcial con respecto a la primera componente.

Así que tenemos que

$$ \| f * \check{b}_j \|_1 \leq \int |f(y)| \left[ 2\cdot 2^{-2k} \int |\partial_2\hat{b}_j(x) |~\mathrm{d}x + 2^{-k} \int| \partial_1 \hat{b}_j(x)| ~\mathrm{d}x \right] \mathrm{d}y $$

Desde $b$ es $C^\infty_0$ tenemos que su transformada de Fourier es $\mathcal{S}$, por lo que el $\| \partial \check{b}_j \|_1$ está bien definido; en particular, tenemos que $\| \partial\check{b}_1\|_1$ es sólo una constante. Ahora, tenemos que el uso de la ley de escala para la transformada de Fourier que

$$ \partial_1 \hat{b}_j(u,v) = 2^j 2^j 2^{2j} \partial_1\hat{b}_1(2^{j}u, 2^{2j}v) $$

y

$$ \partial_2 \hat{b}_j(u,v) = 2^{2j} 2^j 2^{2j} \partial_2 \hat{b}_1(2^{j}u, 2^{2j}v).$$

Así tenemos que, utilizando el Jacobiano del cambio de las variables de la fórmula,

$$ \| \partial_1 \check{b}_j \|_1 = 2^{j} \|\partial_1 \check{b}_1 \|_1 $$

y

$$ \|\partial_2 \check{b}_j \|_1 = 2^{2j} \|\partial_2 \check{b}_1\|_1 $$

Esto implica

$$ \|f * \check{b}_j \|_1 \leq \|f\|_1 \left[ 2 \cdot 2^{2j - 2k} \|\partial_2 \check{b}_1\|_1 + 2^{j-k} \|\partial_1 \check{b}_1\|_1 \right] $$

Así el deseado desigualdad se cumple con

$$ C = 2 \| \partial_2 \check{b}_1 \|_1 + \|\partial_1 \check{b}_1\|_1 \geq 2^{j-k+1} \|\partial_2 \check{b}_1 \|_1 + \|\partial_1 \check{b}_1\|_1 $$

usando ese $j \leq k$ por supuesto.

Answer 2

Aquí es una sugerencia de cómo lidiar con la convolución. No tengo idea de cómo poner en la inversa de la transformada de Fourier de la $b_j$.

Todas las integrales son más de $\mathbb R^2$. Entonces tenemos $$ \int f\ast b\ dx= \int\int f(x-y)b(y)\ dy\ dx = \int\int ( f(x-y)-f(x))b(y)\ dy\, dx\\ = \int\int f(x) b(y-x)-b(y)). $$ La tercera integral se derivan de la utilización que el valor de la media de $f$ es cero. Para obtener la cuarta integral I utiliza una transformada de coordenadas para obtener de $f(x-y)b(y)$ a $f(z)b(x-z)$, entonces la sustitución de las letras $(z,x)\to (x,y)$.

Ahora utiliza el hecho de que el apoyo de $f$ es acotado, entonces el integrando no es cero sólo para $|x_1|\le 2^{-k}$ e $|x_2|\le 2^{-i}$. La diferencia $b(y-x)-b(y)$ luego puede ser estimado utilizando el teorema de Taylor.

Espero que esto ayude.