Derivación de las ecuaciones de Lagrange a partir de la segunda ley de Newton para un sistema no holonómico de partículas

Question

Estoy interesado en escribir una derivación de las ecuaciones de Lagrange a partir de la segunda ley de Newton para un sistema no holonómico de partículas. Aquí, menciono mi derivación donde estoy atascado justo en el último paso.

Consideremos un sistema de $N$ partículas cuyos vectores de posición se escriben como

$$\mathbf{r}_i=\mathscr{R}_i(q_1(t),\dots,q_M(t),t),\quad i=1,\dots,N\,,\tag{1}$$

donde el funciones $q_i:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ se denominan coordenadas generalizadas que están sujetas a restricciones holonómicas y no holonómicas como se indica a continuación

\begin{align*} f_i(q_1(t),\dots,q_M(t),t)&=0,\quad i=1,\dots,C_h\,, \\ g_i(q_1(t),\dots,q_M(t),\dot q_1(t),\dots,\dot q_M(t),t)&=0,\quad i=1,\dots,C_n\,, \tag{2} \end{align*}

donde $C_h$ y $C_n$ son el número de restricciones holonómicas y no holonómicas, respectivamente. Además, si el grado de libertad del sistema es $n$ entonces $n=M-C\ge1$ donde $C=C_n+C_h$ es el número total de restricciones. Utilizando la regla de la cadena de la diferenciación tenemos

\begin{align*} \mathscr{\dot R}_i := \mathbf{v}_i &= \mathbf{v}^*_i+\frac{\partial\mathscr{R}_i}{\partial t},\quad i=1,\dots,N\,, \\ \mathbf{v}^*_i&:=\sum_{j=1}^{M}\frac{\partial \mathscr{R}_i}{\partial q_j}\dot q_j\,,\tag{3} \end{align*}

donde definimos el velocidad virtual de una partícula por $\mathbf{v}^*_i$ . Además, a partir de la segunda ley de Newton tenemos

$$\mathbf{F}_i=m \mathbf{a}_i\tag{4},\quad i=1,\dots,N\,.$$

Multiplicando ambos lados de $(4)$ por $\mathbf{v}^*_i$ sumando el número de partículas $N$ e intercambiando el orden de las sumas obtenemos

$$\sum_{j=1}^{M}\sum_{i=1}^{N}(\mathbf{F}_i-m\mathbf{a}_i)\cdot\frac{\partial \mathscr{R}_i}{\partial q_j}\dot q_j=0\,.\tag{5}$$

A continuación, utilizando las siguientes definiciones e identidades

\begin{align*} Q_j&:=\sum_{i=1}^{N}\mathbf{F}_i\cdot\frac{\partial \mathscr{R}_i}{\partial q_j},\quad j=1,\dots,M\,, \\ S_j&:=\sum_{i=1}^{N}m\mathbf{a}_i\cdot\frac{\partial \mathscr{R}_i}{\partial q_j}=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j},\quad j=1,\dots,M\,, \\ T&:=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m\mathbf{v}_i\cdot\mathbf{v}_i\,, \tag{6} \end{align*}

Ec. $(5)$ se reduce a

$$\sum_{j=1}^{M}(Q_j-S_j)\dot q_j=0.\tag{7}$$

Si no hubiera ecuaciones de restricción en absoluto, ya sean holonómicas o no holonómicas como se menciona en la Ec. $(2)$ entonces las funciones $q_i$ eran linealmente independientes y de ello podíamos concluir que las funciones $\dot q_i$ también son linealmente independientes. Entonces la Ec. $(7)$ daría lugar a la conocida forma de las ecuaciones de Lagrange $S_j=Q_j$ . Pero aquí está mi pregunta, ¿qué pasa si hay ecuaciones de restricción como Ec. $(2)$ . Nótese que a veces nos inclinamos por no eliminar las restricciones holonómicas mediante una transformación. Por eso insisto en tener restricciones holonómicas y no holonómicas al mismo tiempo.

Como las funciones $\dot q_i$ no son (linealmente) independientes en este caso, me pregunto cómo funciona aquí el último paso.

Si las restricciones no holonómicas son lineales en términos de velocidades generalizadas

\begin{align*} &g_i(q_1(t),\dots,q_M(t),\dot q_1(t),\dots,\dot q_M(t),t)=\\ &\sum_{j=1}^{M}a_{ij}(q_1(t),\dots,q_M(t),t)\dot q_j(t)+b_i(q_1(t),\dots,q_M(t),t)=0,\quad \tag{8} \end{align*}

entonces los llamamos cuasi no holonómico . En este caso, sé que el resultado final debe ser

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot q_j}-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j+\sum_{i=1}^{C_h}\lambda_i\frac{\partial f_i}{\partial q_j}+\sum_{i=1}^{C_n}\mu_i\frac{\partial g_i}{\partial \dot q_j},\quad j=1,\dots,M\,,\tag{9}$$

donde $\lambda_i$ y $\mu_i$ son algunas funciones del tiempo que se denominan Multiplicadores de Lagrange .

Una observación sencilla es que toda restricción holonómica puede escribirse en forma de restricción cuasi no holonómica, es decir

\begin{align*} &\\ &\sum_{j=1}^{M}\frac{\partial f_i}{\partial q_j}(q_1(t),\dots,q_M(t),t)\dot q_j(t)+\frac{\partial f_i}{\partial t}(q_1(t),\dots,q_M(t),t)=0.\quad \tag{10} \end{align*}

En un primer paso, parece razonable establecer un argumento cuando todas las restricciones son casi no holonómicas. He publicado una pregunta matemática relacionada en Mathematics SE a este respecto. El lector interesado puede echarle un vistazo.

Answer 1

La pregunta completa (v13) es bastante amplia, pero he aquí algunos comentarios/respuestas:

1. Tradicionalmente desplazamientos virtuales se congelan en el tiempo $t$ . En $t$ -de las ecuaciones (3) y (5) son, en el mejor de los casos, engañosas (dependiendo de la notación $t$ se supone que representa).

2. La Ec. (4) es la 2ª ley de Newton si ${\bf F}_i$ denota el total fuerza sobre el $i$ ª partícula puntual, es decir, una suma de fuerzas "aplicadas" y de restricción. Uno de los puntos principales es intentar eliminar las fuerzas de restricción del formalismo, al menos para las restricciones holonómicas. OP parece no haber avanzado nada en este sentido.

3. Cabe señalar que un $\partial g / \partial \dot q_j$ -en la ec. final de OP (8) no es apropiado para una restricción general no holonómica $g$ pero sólo para una llamada semiholonómico restricción, $$ g(q,\dot{q},t)~\equiv~\sum_j a_j(q,t)\dot{q}^j+a_t(q,t)~\approx~0, $$ que por definición es un afín función de $\dot{q}^j$ .

4. En caso de que OP esté siguiendo la Ref. 1, nótese que el tratamiento de las ecuaciones de Lagrange para restricciones no holonómicas en la Ref. 1 es inconsistente con las leyes de Newton, y ha sido retractado en la página de erratas de la Ref. 1. Véase la Ref. 2 para más detalles.

5. En caso de que el OP esté siguiendo la Ref. 3, nótese que la Ref. 3 sólo trata las restricciones holonómicas en el capítulo 2. (Esto se menciona explícitamente en la mitad de la p. 50.) Ref. 3 introduce provisionalmente las restricciones no holonómicas al principio de la Sección 3.1.2, sólo para rechazar más tarde el enfoque por no ser físico.

Referencias:

1. H. Goldstein, Mecánica Clásica; 3ª ed; Sección 2.4. Página de erratas . (Obsérvese que esta crítica sólo afecta al tratamiento de la 3ª edición; los resultados de la 2ª edición son correctos).

2. M.R. Flannery, El enigma de las restricciones no holonómicas, Am. J. Phys. 73 (2005) 265 .

3. J.V. Jose & E.J. Saletan, Dinámica clásica: Un enfoque contemporáneo, 1998; secciones 2.1.1, 2.2.1 y 3.1.2.

Answer 2

El problema es que no se pueden reordenar las fórmulas que definen los momentos para expresar el $\dot{q}_i$ en cuanto a ellos y la $q_j$ debido a las restricciones del espacio de fase de la forma $f(q,\,p)=0$ . El truco consiste en identificar estas funciones y añadir múltiplos de ellas al Hamiltoniano, a saber. https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_bracket

Answer 3

Al revés, y con coordenadas rectilíneas aburridas:

$$ \begin{eqnarray}\frac{\partial \mathcal L}{\partial x_i} &=& \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_i} \\ \mathcal L = T - U &=& \frac{m}{2} \sum_i \dot x_i^2- \int_C \mathbf F \cdot d \mathbf x \\ \frac{\partial \mathcal L}{d x_i} = - \frac{\partial U}{\partial x_i} = - \frac{\partial}{\partial x_i} \int_C \mathbf F \cdot d\mathbf x &=& \frac{d}{dt} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot x_i} = \frac{d}{dt} \frac{\partial T}{\partial \dot x_i} = \frac{d}{dt} m \dot x_i \\ \mathbf F &=& m \mathbf{\ddot x} \end{eqnarray}$$

Si te apetece, la derivación hacia delante fluye en sentido contrario y los pasos menos intuitivos son de $m \mathbf{\ddot x}$ a los derivados de $T$ término, pero todos los pasos son válidos.

Las coordenadas generalizadas son formalmente equivalentes a las coordenadas rectilíneas, aunque surjan términos extravagantes como los potenciales efectivos (cuando la energía cinética tiene derivadas con respecto a la posición, además de con respecto a las velocidades). Si quieres ser explícito al respecto, Wikipedia hace un buen trabajo.

Parece que también busca información sobre sistemas no conservadores. Por favor, examine esto enlace . También parece que siente curiosidad por las limitaciones, véase aquí .

Answer 4

Después de un tiempo, me he dado cuenta de que he pensado tan mal debido a los malos libros que he leído y a las malas explicaciones que me han dado.

Permítanme comenzar derivando las ecuaciones de Lagrange para el movimiento de una sola partícula. En primer lugar, elija un conjunto de coordenadas generalizadas. Por ejemplo, consideremos una partícula que se mueve sobre una superficie esférica cuyo radio varía con el tiempo. Las coordenadas generalizadas pueden ser las coordenadas cartesianas habituales $(x,y,z)$ sometida a la restricción holonómica $$f(x(t),y(t),z(t),t)=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2-R^2(t)=0,$$ donde $R(t)$ es el radio de la esfera. Otra forma es elegir las coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)$ como las coordenadas generalizadas \begin{align*} x&=r\sin\theta\cos\phi \\ y&=r\sin\theta\sin\phi \\ z&=r\cos\theta \tag{1} \end{align*} sometida a la restricción $r=R(t)$ o simplemente podemos elegir $(\theta,\phi)$ como coordenadas generalizadas con $r$ siendo sustituido por $R(t)$ en $(1)$ . También puede elegir coordenadas cilíndricas $(\rho,\phi,z)$ como las coordenadas generalizadas sometidas a la restricción $\rho^2+z^2=R^2(t)$ . Estos eran sólo ejemplos sencillos de lo que la ecuación $$\mathbf{r}=\mathscr{R}(q_1(t),\dots,q_M(t),t), \tag{2}$$ significa. Es prudente elegir un número de coordenadas generalizadas que no supere el grado de libertad máximo que puede tener la partícula, de modo que $M\le3$ . Nótese que no nos importa el hecho de que el sistema esté restringido o no cuando elegimos nuestras coordenadas generalizadas. Sólo después de elegir las coordenadas generalizadas, buscamos cuáles son las restricciones gobernantes. Es natural elegir aquellas coordenadas generalizadas que facilitan nuestra descripción del movimiento y la solución del problema. Eso es todo.

Ahora, escribe la segunda ley de Newton para la partícula y multiplica ambos lados por el vector $\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial q_j}$ para obtener

$$(\mathbf{F}-m\mathbf{a})\cdot \frac{\partial \mathscr{R}}{\partial q_j}=0\,.\tag{3}$$

Utilizando las definiciones e identidades mencionadas en la Ec. $(6)$ de la pregunta anterior esto simplemente resulta ser

$$Q_j-S_j=0.\tag{4}$$

Pero aún queda una cuestión importante. ¿Cuántos linealmente independientes ¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿¿? Una mirada de cerca a $(3)$ revela que esto depende de cuántos vectores linealmente independientes $\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial q_j}$ que tenemos. Esto sirve de motivación para exigir que la coordenada generalizada se elija de forma que todos los vectores $\frac{\partial \mathscr{R}}{\partial q_j}$ sean linealmente independientes. En el ejemplo anterior de la partícula en movimiento sobre la esfera, si elegimos coordenadas esféricas, entonces estos vectores son simplemente paralelos a vectores base de coordenadas esféricas, que sí son linealmente independientes. Teniendo esto en cuenta, obtendremos $M$ ecuaciones linealmente independientes.

Nótese que nuestra discusión nunca depende de si el movimiento está restringido o no. Se trata simplemente de otra historia. Las fuerzas correspondientes de las restricciones cinemáticas se muestran en $Q_j$ . Para el caso de las restricciones holonómicas, se puede demostrar que si se elige un conjunto de coordenadas generalizadas tal que la restricción holonómica se satisfaga idénticamente, entonces la contribución de sus fuerzas correspondientes a $Q_j$ desaparece. Esto corresponde a nuestra elección $(\theta,\phi)$ en el ejemplo anterior. En conclusión, dependiendo de la elección de las coordenadas generalizadas, las fuerzas de restricción correspondientes pueden o no entrar en las ecuaciones de Lagrange.

Con ligeras modificaciones del procedimiento de la pregunta anterior, puedes deducir las ecuaciones de Lagrange para un sistema de partículas. En el primer paso, se obtiene $$\sum_{i=1}^{N}(\mathbf{F}_i-m\mathbf{a}_i)\cdot\frac{\partial \mathscr{R}_i}{\partial q_j}=0,$$ que a su vez equivale a $Q_j-S_j=0$ . Obsérvese que ninguna suma en $j$ ¡es realmente necesario! El punto delicado es entender cuántas ecuaciones linealmente independientes te quedan, lo que dejo como ejercicio para ti.

Nótese que este método nos dice que las ecuaciones de Lagrange son sólo bien elegido combinaciones lineales de las ecuaciones de movimiento originales obtenidas por la segunda ley de Newton, ¡y nada más! Es bien elegido ya que elimina algunas fuerzas que no nos interesa conocer.

He aquí una buena referencia que recomiendo encarecidamente a los lectores interesados.

Dinámica clásica: Un enfoque contemporáneo Por Jorge V. José y Eugene J. Saletan.

Además, para tener una base más sólida sobre este tema, tal vez desee estudiar geometría diferencial .

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Descargo de responsabilidad . Estos fueron mis conocimientos sobre el tema y puede contener algunos errores. Por lo tanto, agradecería cualquier útil y detallado crítica.