Todo grupo de permutación transitiva tiene un elemento libre de punto fijo

Question

Si $G$ actúa transitivamente por permutaciones sobre un conjunto finito $A$ con más de un elemento (por ejemplo $G$ es un subgrupo de permutación transitiva del grupo simétrico $S_A$ ). ¿Por qué $G$ contienen necesariamente un elemento que no tiene puntos fijos (es decir $g$ tal que $g \cdot a \neq a$ para cualquier $a \in A$ )?

---

La pista que tengo es para pensar, dado $a \in A$ ¿qué fracción de elementos de $G$ fija $a$ . No estoy seguro de cómo hacer esta sugerencia...

Answer 1

Por El lema de Burnside , usted tiene

$$\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}|\text{fix }g| = |A/G|=1$$

Desde $1 \in G$ tiene $|A|>1$ puntos fijos, al menos uno de los términos de la suma debe ser $0$ .

Answer 2

Aquí hay otra solución, en caso de que no hayas oído hablar del lema de Burnside:

Dado $a \in A$ el subconjunto $G_a \subseteq G$ que fija $a$ (llamado el estabilizador de $a$ en $G$ ) forma un subgrupo de $G$ . Desde $G$ actúa transitivamente, cada uno de estos estabilizadores puntuales es conjugado, es decir, para cada $b \in A$ tenemos $G_b = g^{-1}G_ag$ para algunos $g \in G$ . Si suponemos que cada elemento de $G$ tiene un punto fijo, entonces cada $\sigma \in G$ está contenida en algún estabilizador $G_b$ . Entonces $\sigma \in \bigcup_{g\in G} g^{-1}G_ag$ para todos $\sigma \in G$ . Pero esto no puede ocurrir ya que $G$ no puede ser la unión de los conjugados de cualquier subgrupo propio. (A ver si puedes demostrarlo).

Answer 3

Basta con demostrar que $\bigcup_{a \in A} \operatorname{Stab}_a \neq G$ donde $G$ es el grupo de permutación transitiva en $A$ , por lo que hay algo de $\sigma \in G$ no en $\bigcup_{a \in A} \operatorname{Stab}_a$ , lo que significa $\sigma(a) \neq a$ para todos $a \in A$ .

Como $G$ es transitiva, el teorema del estabilizador de la órbita dice que $|\operatorname{Stab}_a| = \frac{|G|}{|A|}$ para todos $a$ . Además, todos los estabilizadores contienen $1_G$ Así que $$\left| \bigcup_{a \in A} \operatorname{Stab}_a \right| \le 1 + |A|\left(\frac{|G|}{|A|} - 1\right) < |G|,$$ que es lo que queríamos.