Hay una forma cerrada de la expresión para la primera mitad de el Binomio de la serie?

Question

Estoy buscando una forma cerrada expresión para la suma

$P_n(x) =\sum_{0\leq k\leq n/2}\binom{n}{k}x^k$,

donde $n$ es dado un entero positivo y $k$ ejecuta a través de números enteros no negativos entre el $0$ e $n/2$. El primero de estos polinomios son

$1,1+2x,1+3x,1+4x+6x^2,1+5x+10x^2,...$

Alternativamente, uno podría querer restar la mitad de la última plazo $\binom{n}{n/2}x^{n/2}$ al $n$ es incluso para obtener los polinomios

$Q_1(x) = 1, Q_2(x) = 1+x, Q_3(x) = 1+3x, Q_4(x) = 1 + 4x + 3x^2,\ldots$

Estos tienen la propiedad de que $Q_n(x) + x^n Q_n(1/x) = (1+x)^n$, pero soy incapaz de obtener una forma cerrada para la secuencia de funciones. Se puede obtener una fórmula recursiva y también una forma cerrada de la expresión para la generación de la función

$G(x,y) = \sum_{n=0}^{\infty} Q_n(x)y^n$,

pero esta forma implica un término del tipo

$\frac{\sqrt{1- 4y}}{1 - ay},$

que soy incapaz de expandirse como una potencia de la serie en $y$. Si usted encuentra una expresión para las secuencias de $P_n$ o $Q_n$ o son capaces de expresar la función anterior como una potencia de la serie en $y$, le estaría muy agradecido. Gracias!

Answer 1

$\sum_{0\leq k\leq n/2}\binom{n}{k}x^k = (x+1)^n - \binom{n}{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor + 1} x^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor + 1} {_2F_1}\left(1,\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor - n + 1;\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor + 2;-x\right)$,

donde $_2F_1$ es la función hipergeométrica.

Answer 2

El poder de la serie para

$$f(y) = \sqrt{1-4y} \cdot \frac{1}{1 - ay} $$

es fácil de calcular: tomar la serie para cada factor por separado y se multiplican.

$$\begin{align} f(y) = \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{j=0}^{\infty} \binom{1/2}{i} (-4y)^i (ay)^j = \sum_{n=0}^{\infty} \left( \sum_{i=0}^n \binom{1/2}{i} (-4)^i a^{n-i} \right) y^n \end{align}$$

WolframAlpha puede encontrar una forma cerrada de la expresión para el coeficiente de $y^n$, pero implica funciones hipergeométricas.