¿Tener dos ejes de simetría $y=0$ e $y=-x$ implica que la forma también tiene líneas de simetría $x=0$ e $y=x$

Question

Me han preguntado si una forma/de la curva que tiene una línea de simetría a lo largo de las líneas de $y=0$ e $y=-x$ está garantizado que también tienen líneas de simetría a lo largo de las líneas de $x=0$ e $y=x$.

Mi instinto me dice que esto es cierto. Todas las formas que puedo pensar de satisfacer esta. Pero no puedo pensar en una manera de probar esto.

También, es esta relación de "si y sólo si" (con un $\Leftrightarrow$ símbolo) o simplemente "implica" (con un $\Rightarrow$ símbolo).

He intentado buscar similares preguntas aquí, pero no pude encontrar ninguna. Tal vez me redactado también muestra un.

Answer 1

Deje $(u,v)$ ser un punto de la curva. Entonces:

• la simetría alrededor de $y=0$ implica que $(u,-v)$ es en la curva;
• la simetría alrededor de $y=-x$ implica que $(-v,-u)$ es en la curva.

Ahora podemos aplicar estas reglas de forma iterativa:

• reflejar $(u,-v)$ sobre $y=-x$ conseguir $(v,-u)$
• reflejar $(v,-u)$ sobre $y=0$ conseguir $(v,u)$

Y $(v,u)$ es $(u,v)$ reflexionó acerca de $y=x$. Por lo $y=x$ es de hecho una línea de simetría.

Del mismo modo, reflejando $(-v,-u)$ sobre $y=0$ entonces $y=-x$ da $(-u,v)$, que es $(u,v)$ reflexionó acerca de $x=0$. Por lo $x=0$ es también una línea de simetría.

Answer 2

Sí, esto es cierto.

Considere la posibilidad de un punto de $(x,y)$ en la $1^{\text{st}}$ cuadrante. Por la línea de simetría $y=0$, la curva también contiene $(-x,y)$. Luego por la línea de simetría $y=-x$, la curva contiene $(-x,-y)$ (ya que contiene $(x,y)$). Ahora, la curva debe contener $(-x,y)$ desde la línea de simetría $y=0.$

Por lo tanto, hemos demostrado la $4$ puntos $(x,y),(x,-y),(-x,-y),(-x,y)$ son simultáneamente en la curva o fuera de la curva.

Entonces usted puede tratar de probar que no tiene ejes de simetría $x=0$ e $y=x$. $(*)$

Comentario si estás atrapado en cómo demostrar a $(*)$ o si he hecho nada claro.