MASAs de C* álgebras de

Question

Mientras que el estudio de la $C^*$-formulación algebraica de la recientemente resuelto Kadison-Cantante problema, me preguntaba acerca de máxima abelian subalgebras:

Deje $\mathcal{A}$ ser un unital C* álgebra. No parece ser un teorema (ver, por ejemplo, Kadison/Cantante de la "Extensión de Estados Puros", sin embargo, no pude encontrar una versión no detrás del muro de pago) que sólo hay tres tipos de máxima abelian subalgebras (+ directa sumas)

• la continua máxima abelian subalgebra $\mathcal{A}_c$, que creo que es isomorfo a $L^{\infty}([0,1])$ que actúa sobre el espacio de Hilbert $L^2([0,1])$.
• el discreto máxima abelian subalgebra $\mathcal{A}_d$, que creo que es isomorfo a $\mathcal{D}(\ell_2)$, la diagonal de las matrices de cuadrado integrable funciones.
• finito dimensionales versiones de la última álgebra $\mathcal{A}_n$ para todos los $n\in\mathbb{N}$ (básicamente, la diagonal de las matrices).

Este teorema parece ser de conocimiento general, sin embargo, no pude encontrar una referencia a una prueba. Podría alguien facilitar uno o punto de que me las ideas principales y/o intuiciones para demostrar esto? Sólo puedo ver cómo esto debería ser el caso para finito dimensionales de los sistemas (donde sólo el tercer caso sobrevive).

Además, esto puede ser un tiro largo, pero tal descomposición me recuerda a la descomposición espectral continuo y puro punto de espectro, así que me gustaría saber, si es que existe tal vez una relación?

Answer 1

No es difícil ver que es como decir al $\mathcal A$ es un álgebra de von Neumann.

Pero hay C$^*$-álgebras con pocos o ningún proyecciones, y por lo que ninguna de esas masas pueden vivir allí. Considere por ejemplo,$C^*_r(\mathbb F_2)$, la reducción de la C$^*$-álgebra de la libre grupo en dos generadores $\mathbb F=\langle a,b\rangle$. Esta álgebra es conocido por ser projectionless. Pero se puede considerar $C^*(a)\subset C^*_r(\mathbb F_2)$. Creo que esta es una masa; pero incluso si no lo es, está contenida en un poco de masa por una fácil aplicación del Lema de Zorn, y esta masa es una subalgebra como la plena álgebra no es abelian. Así que tenemos una masa en un projectionless C$^*$-álgebra, la cual no puede ser cualquier tipo de directa sumas como en los ejemplos de la pregunta, ya que todos estos tienen muchas proyecciones.