Teorema Fundamental del cálculo y la integración compleja

Question

Me estoy enseñando a la integración compleja, y por desgracia, mi libro de texto me ha dejado confundido como para cuando se me puede aplicar el teorema Fundamental del cálculo para la integración compleja.

Considere el siguiente en el círculo unidad (centrado en $0$ radio $1$)

$$\oint cosec^{2}\left ( z \right )$$

creo que esta integral se $0$ debido a que el antederivative es$cot(z)$, y se define en el círculo unitario, y $cosec(z)$ es continua en el círculo unidad.

El hecho de que el círculo unidad contiene $0$, en el que ni $cosec(z)$ ni $cot(z)$ está definido es irrelevante. La única cosa que importa es que las declaraciones anteriores son verdad en el camino en sí.

considere ahora

$$\oint \frac{1}{z}$$ también en el círculo unidad

es la única razón de la FTOC no se aplican , que la antiderivada $ln(z)$ no está bien definido en $z=1$ , suponiendo una rama cortada $[0,+infinity]$ ?

y por lo tanto, si tomamos la misma integral en el círculo unitario menos el ${1}$, sería la integral de existir y ser $= 0$ ?

Gracias

Answer 1

En realidad, la integral de $\csc^2{z}$ hecho desaparecer sobre el círculo unidad. La razón es que el comportamiento de las $\csc{z}$ as $z \to 0$ es

$$\csc{z} = \frac1{z} + \frac16 z + O(z^3) $$

Por lo tanto,

$$\csc^2{z} = \frac1{z^2} + \frac13 + O(z^2)$$

Debido a que el coeficiente de $1/z$ en $\csc^2{z}$ es cero, la integral sobre el círculo unidad (o cualquier lazo cerrado sobre el origen) de $\csc^2{z}$ es cero.

Answer 2

Si $f,F$ son holomorphic en un conjunto abierto $U$ e $F'=f$ en $U,$ entonces $\int_\gamma f(z)\,dz = 0$ por cada contorno cerrado en $U.$ Prueba: Porque $(F\circ\gamma)' (t) = f(\gamma (t))\gamma '(t),$$$\int_a^b f(\gamma (t))\gamma '(t)\,dt = F(\gamma (b)-F(\gamma (a)) = 0.$$ El OP es ciertamente la razón en esto. Los polacos, los residuos, la simple conexión, del Teorema de Cauchy etc. no son un factor aquí.