Convergente o divergente

Question

Determina si la serie converge o diverge: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{\ln(n)}{n \left|\sin(n)\right|} = $$

Sabemos que

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}i = \text{Divergent} $$

$$ \sum_{n=1}^1 \ln(i )= 0 $$

¿Cómo solucionarlo?

Answer 1

Una pista: Desde $|\sin n|\le 1$ y $\ln n \gt 1$ para $n\ge 3$ El $n$ -término de nuestra secuencia es mayor que $\frac{1}{n}$ si $n\ge 3$ . Ahora utilice la prueba de comparación.

Answer 2

Otra forma: también anotar $\frac{\log n }{n|\sin n|} \geq \frac{\log n}{n}$ . Ahora mira $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n }{n}$ . Por prueba intergral si la integral diverge, entonces la suma también diverge. $\int_{1}^{\infty} \frac{\log x dx}{x} = \left. \frac{ \log^{2} x}{2} |^{\infty}_{1}\right.=\infty$ . La integral diverge, por lo que la suma también diverge. Como la suma original está acotada por ésta, por prueba de comparación también diverge.