Encuentre una ecuación de la línea tangente a $y = \cos(x)+3\sin(x)$ a $x=\pi/3$

Question

Encuentre una ecuación de la recta tangente a $$y = \cos(x)+3\sin(x)$$ at $x=\pi/3$.

Esto es lo que he hecho...

Encontrar $y$, $y= \cos(\pi/3) + 3\sin(\pi/3)$
esto es igual a $1 + \sqrt 3/2$

Siguiente

Encontrar $f'(x) = \sin(\pi/3) + 3\cos(\pi/3)$
esto es igual a $3+ 3\sqrt3/2$

Siguiente

Enchufe en la forma punto-pendiente

$(y-1+\sqrt 3/2) = (3 +3\sqrt3/2) (x - \pi/3)$

$y = \left(\frac{3+3\sqrt 3}{2}\right)(x-\pi/3)+(1+3\sqrt 3/2)$

Estoy haciendo algo mal? Gracias.

Answer 1

Mientras que su estrategia es correcta, usted incorrectamente evaluado el seno y el coseno funciones en $x = \pi/3$ e incorrectamente se tomó la derivada.

Deje $f(x) = \cos x + 3\sin x$. Desde $$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$ y $$\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ cuando evaluamos $f(x)$ a $\pi/3$ obtenemos

$$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 3\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2}$$

Puesto que la derivada de $g(x) = \cos x$ es $g'(x) = -\sin x$ y el derivado de la $h(x) = \sin x$ es $h'(x) = \cos x$, la derivada de $f(x)$ es

$$f'(x) = -\sin x + 3\cos x$$

Por lo tanto, la derivada de $f(x)$ evaluado en $\pi/3$ es

$$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) + 3\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$$

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es

$$y - \frac{1 + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$$