¿Por qué es $y = \sqrt{x-4}$ una función? y $y = \sqrt{4 - x^2}$ debe ser un círculo

Question

Entonces, ¿por qué es una función, aunque por ejemplo $x = 8$ Tendrás $y = +2$ y $y = -2$ . Fallará la prueba de la línea vertical. Pero todos los libros de texto lo consideran una función. ¿He entendido algo mal?

Editar: Espera, ¿cómo es que $y = \sqrt{4 - x^2}$ es una función también cuando se puede transformar en $$ y = \sqrt{4-x^2} $$ $$ y^2 = 4- x^2$$ $$ x^2 + y^2 = 4 $$ $$ \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1$$

que es una ecuación de un círculo y no una función

Answer 1

Considere estas dos preguntas:

1. Resolver para $y$ en la ecuación: $y^2 = 4$ .
2. Evaluar $\sqrt{4}$ .

Estas preguntas están relacionadas, pero son no es lo mismo .

Para la primera pregunta, hay dos respuestas: $\pm 2$ ya que ambos números elevados al cuadrado te darán $4$ .

El segundo pregunta: "¿qué número no negativo, cuando se eleva al cuadrado, te da $4$ ?" La respuesta es $2$ (y no $-2$ ). En general, para un número real no negativo $x$ su raíz cuadrada, $\sqrt{x}$ es definido para ser la solución no negativa $y$ a $y^2 = x$ .

Así, $\sqrt{8-4} \neq -2$ , por lo que el gráfico $y=\sqrt{x-4}$ contiene el punto $(x,y) = (8,2)$ pero no $(x, y) = (8, -2)$ . En general, existe como máximo una respuesta a la pregunta "evaluar $\sqrt{x-4}$ por lo que el gráfico sí pasa la prueba de la línea vertical. (Puede ver un esquema de la gráfica en Wolfram Alpha).

(¡Las cosas se ponen más interesantes cuando intentamos definir la raíz cuadrada de un número complejo!)

Editar (en respuesta a la pregunta de seguimiento sobre $y = \sqrt{4-x^2}$ ): Consideremos los gráficos de $y^2 = x$ y $y = \sqrt{x}$ . Basándonos en la discusión anterior, no son el mismo gráfico. El gráfico $y^2 = x$ "se transforma en $y = \pm \sqrt{x}$ que no es una función.

Answer 2

Para la pregunta de seguimiento:

$y = \sqrt{x}$ y $y^2 = x$ no son equivalente declaraciones.

Si $y = \sqrt{x}$ entonces $y^2 = x$ pero no al revés. De ahí sus ecuaciones $$y = \sqrt{4-x^2}$$ y $$x^2 + y^2 = 4$$ pueden muy bien tener diferentes conjuntos de soluciones, y lo hacen. Para la primera de estas ecuaciones, $y$ es automáticamente positivo (debido a las otras discusiones sobre la raíz cuadrada). Las soluciones de $y = \sqrt{4-x^2}$ formar un semicírculo la parte del círculo $x^2 + y^2 = 4$ que corresponden a los puntos en los que $y \ge 0$ .

Answer 3

Es una función porque el signo de la raíz cuadrada en su expresión denota la raíz cuadrada principal. La raíz cuadrada principal de un número positivo se define como la raíz cuadrada positiva de ese número, es decir, descartamos la raíz cuadrada negativa.

Si el símbolo de la raíz cuadrada denotara tanto las raíces cuadradas negativas como las positivas, entonces sí, no sería una función sino una relación.