Integral con raíz cuadrada de función racional

Question

¿Existe una manera fácil (que no utilice funciones elípticas) de calcular integrales de la forma $$\int_0^a\frac{du}{\sqrt{bu^2+cu}}$$

o incluso obtener una aproximación para $a$ cercano a $0+$.

Answer 1

Si $ab/c>0$ es muy pequeño, la aproximación $$\int_{0}^{a}\frac{du}{\sqrt{u}\sqrt{bu+c}}\approx\frac{1}{\sqrt{c}}\int_{0}^{a}\frac{1}{\sqrt{u}}\,du = 2\sqrt{\frac{a}{c}}$$ es bastante precisa, y también tenemos $$\int_{0}^{a}\frac{du}{\sqrt{u}\sqrt{bu+c}}=2\int_{0}^{\sqrt{a}}\frac{du}{\sqrt{bu^2+c}}=\frac{2}{\sqrt{b}}\int_{0}^{\sqrt{ab/c}}\frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\color{blue}{\frac{2}{\sqrt{b}}\text{arcsinh}\sqrt{\frac{ab}{c}}}.$$ A pesar de la apariencia, no es una integral elíptica.

Answer 2

Mediante un cambio lineal de variable $u=pt+q$, y dependiendo de los respectivos signos de $b,c$, se puede reducir a una forma

$$\int\frac{dt}{\sqrt{\pm t^2\pm1}}$$

que lleva a $\arcsin t$, $\text{arsinh }t$ o $\text{arcosh }t$.

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El cambio de variable da

$$b(pt+q)^2+c(pt+q)=bp^2t^2+2bpqt+bq^2+cpt+cq$$

donde dejamos que el término lineal se anule mediante

$$2bq+c=0,\\q=-\frac c{2b}$$

y hacemos que los coeficientes restantes tengan la misma magnitud mediante $$|bp^2|=|bq^2+cq|=\left|\frac{c^2}{4b}\right|,\\p=\left|\frac c{2b}\right|.$$

Answer 3

NOTA: sustituye $$\sqrt{(bu+c)u}=\left(u+\frac{c}{b}\right)t$$