Si$G/K\cong H/K$ debe$G\cong H$?

Question

Dejemos que K sea un subgrupo normal de$H$ y$G$ para que$G/K$ sea isomorfo a$H/K$, ¿debemos tener$G\cong H$?

Realmente no puedo decirte lo que he intentado ya que no he hecho nada que valga la pena contar.

Gracias por adelantado.

Answer 1

Esto es falso Dejar $G=C_4, H=V_4, K=C_2$.

Answer 2

Contraejemplo:

Deje que$A = {\mathbb Z}_4 \times {\mathbb Z}_2$, y que$G$ y$H$ sean los subgrupos de$A$ dados por${\mathbb Z}_4 \times \{0\}$ y$\langle 2\rangle \times {\mathbb Z}_2$ respectivamente. Ahora, deje$K = \langle 2\rangle \times \{0\}$, que es un subgrupo normal de$G$ y$H$.

Answer 3

Una cuidada ejemplo es $S_3$. Este grupo es el semidirect-producto del grupo cíclico de orden dos con el grupo cíclico de orden tres. $$S_3\cong C_3\rtimes C_2$$ Sin embargo, es no isomorfo al producto cruzado $C_3\times C_2\cong C_6$. (Tenga en cuenta que escribo $C_n$ para el grupo cíclico de orden $n$, lo $C_n\cong\mathbb{Z}_n$.)

Más generalmente, si $G$ es un semidirect producto $G=N\rtimes_{\phi}H$ cuando la automorphism $\phi$ de % de $N$ no es interior, entonces (en general), $G/N\cong H$ y tenemos los siguientes. $$ N\rtimes_{\phi}H\no\cong N\times H $$ Combinando esto con el hecho de que $\frac{N\times H}{N}\cong H$ produce una gran clase de ejemplos.

Otros ejemplos concretos son fácilmente encontrados:

• $D_{2n}\cong C_n\rtimes C_2\not\cong C_2\times C_n$

• El grupo fundamental de la botella de Klein, que ha de presentación de $\langle a, b; a^{-1}ba=b^{-1}\rangle\cong \mathbb{Z}\rtimes\mathbb{Z}$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

• $\operatorname{O}(n)\cong \operatorname{SO}(n)\rtimes C_2\not\cong \operatorname{SO}(n)\times C_2$.

La generalización de esta idea, si usted tiene una corta secuencia exacta $$ 1\rightarrow N\rightarrow G\rightarrow H\rightarrow 1 $$ que no se divide , a continuación, en general, $G\not\cong N\times H$, de modo de obtener un contra-ejemplo. Esta es otra gran clase de contador)ejemplos. Por ejemplo, $$ 1\rightarrow A_n\rightarrow S_n\rightarrow C_2\rightarrow 1$$ pero $S_n\not\cong A_n\times C_2$.

Answer 4

El ejemplo de contador más simple posible es también el primero que usted verificará. Los grupos más pequeños de igual orden que no son isomorfos son de orden$4$, y ambos son abelianos. Cada grupo de orden$4$ debe tener un elemento de orden$2$, y por lo tanto un subgrupo de orden$2$. El cociente en los dos grupos anteriores sería un grupo de orden$2$, por lo tanto isomorfo a$\mathbb Z_2$.