La distancia entre un punto $a \in \mathbb{R}$ y un conjunto $X \subset \mathbb{R}$ se define como $$d(a,X) := \inf\{|x-a|: x \in X\}.$$ Cómo probar si $X$ está cerrado, entonces hay un $b \in X$ tal que $d(a,X) = |b-a|$ ?
He construido una secuencia decreciente que converge a $d$ como sigue: Dado $r > d(a,X)$ Hay un $x \in X$ tal que $|x-a| < r$ . Repitiendo el proceso con $r_{n+1} := \frac{d+r_n}{2}$ obtenemos la desigualdad:
$$d \leq |x_n-a| < r_n$$
Es fácil demostrar que $r_n \mapsto d$ y por lo tanto $|x_n-a| \mapsto d$ . Si pudiera mostrar el conjunto $A := \{|x-a|: x\in X\}$ está cerrado, el resultado sería inmediato. Esto es de alguna manera mi segunda pregunta, es cierto que para todo conjunto cerrado $X$ el conjunto $|X| := \{|x|: x\in X\}$ ¿está cerrado?
No dude en aportar pruebas alternativas, se lo agradecería.
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¿Alguien sabe si esto es cierto en cualquier espacio métrico? Es decir, para el espacio métrico $X$ con la métrica $d$ y $E \subseteq X$ para $x \in X$ definen la distancia desde $x$ a $E$ por $\Delta(x, E) = \inf_{z \in E} d(x,z)$ . Parece que debería ser así, pero las pruebas que siguen dependen del Teorema de Heine-Borel, ya que se aplica específicamente a $\mathbb{R}$ . EDIT: Una simple búsqueda acaba de responder a mi pregunta de forma negativa, ver aquí . Sin embargo, voy a dejar esto aquí por si alguien más que se encuentre con esto tiene curiosidad