Si $f$ es una función real y $g(x)=\lim_{t\to x}f(t)$ entonces $g$ es continua?

Question

Supongamos que una función real $f$ tiene un límite en cada punto de un conjunto $K\subset\mathbb{R}$ y $$g(x)=\lim_{t\to x}f(t)$$ ¿Implica eso que $g$ es continua en $K$ ?

Answer 1

De acuerdo con la hipótesis de que tenemos límites

i) $g(x) = \lim_{t\to x} f(t)$ y

ii) $g(x+h) = \lim_{t\to x+h} f(t)$

Lo que queremos es tener $g(x) = \lim_{h\to 0} g(x+h)$

Es decir $\forall\epsilon$ $\exists\delta$ s.t. si $|h|<\delta$ entonces $|g(x+h)-g(x)|<\epsilon$ .

Elija $\epsilon=\epsilon_0$

Por (i) para el $\epsilon=\epsilon_0/2$ $\exists\delta_0$ s.t. $|t-x|<\delta_0$ y $|f(t)-g(x)|<\epsilon_0/2$

Por (ii) para el $\epsilon=\epsilon_0/2$ $\exists\delta_1$ s.t. $|t-x-h|<\delta_1$ y $|f(t)-g(x+h)|<\epsilon_0/2$

Entonces, elegir nuestro $\delta = \delta_0+\delta_1$ tenemos

$|t-x|<\delta_0$ & $|t-x-h|<\delta_1$ implica $|h|<\delta_0+\delta_1$

con

$|f(t)-g(x)|<\epsilon_0/2$ & $|f(t)-g(x+h)|<\epsilon_0/2$ implica $|g(x+h)-g(x)|<\epsilon_0$

En resumen, teniendo en cuenta $\epsilon$ podemos elegir $\delta$ como en el caso anterior s.t. se satisfacen las condiciones de límite. Por lo tanto, decimos que g es continua.

Answer 2

$g$ no necesita ser continua, siempre que $K$ no contiene ningún punto aislado. Sea $x_0$ estar en $K$ . Dejemos que $g(x_0) = L$ . Dejemos que $>0$ . Entonces, por la definición de $g$ existe $>0$ tal que para todo $x$ en $K$ con $0<|x-x_0|<$ , $|f(x)-L|</2$ . Pero para cada $y$ en $K$ con $0<|y-x_0|<$ también tenemos $|f(x)- g(y)|</2$ para $x$ en $K$ y con $0<|x-x_0|<$ lo suficientemente cerca de $y$ . Por lo tanto, para cada $y$ en $K$ con $0<|y-x_0|<$ La elección de este tipo de $x$ , $|g(y)-g(x_0)|=|g(y)-L|=|-f(x)+g(y)+f(x)-L| |f(x)-L| + |f(x)-g(y)|</2 + /2=$ Así que $g$ es continua en $K$ . Sin embargo, si se permite que haya puntos en $K$ sin otros puntos en algún intervalo que los contenga (puntos aislados), entonces existe un contraejemplo. Sea $K$ sea el conjunto formado por $0$ y $1/n$ para cada $n$ un número entero positivo, y que $f(x)=x$ . $g$ puede definirse como se quiera en $1/n$ , digamos que $g(1/n)=1$ ya que las propiedades del límite se mantendrán vacías, pero debemos tener $g(0)=0$ , en cuyo caso $g$ es discontinuo en $0$ .

Answer 3

Para que una función sea continua en un intervalo, deben cumplirse 3 condiciones:

• f (t) debe definirse.
• El límite debe existir.
• El límite es igual a f (t).

¿Qué dice esto de g ?