Métricas en el plano.

Question

Definir métricas $\rho$ e $d$ en el avión $\mathbb{R}^2$ como sigue: $x = (x_1, x_2)$ e $y = (y_1, y_2)$,

$$\rho(x, y) = |x_1 − y_1| + |x_2 − y_2|\\ d(x, y) = max\{|x_1 − y_1|, |x_2 − y_2|\}$$

Sacar fotos precisas en el plano x-y de la unidad de barrios sobre el origen $O = (0,0)$ en estas dos métricas; es decir, dibujar imágenes de $N_1(O, \rho)$ e $N_1(O, d)$.

Estoy confundido sobre la definición de las métricas. ¿Por qué hay dos valores de $x$ e $y$? Realmente apenas estoy luchando con el aferramiento a la definición de $\rho(x, y)$ e $d(x, y)$. Son plazas?

Answer 1

Usted puede pensar en una métrica como una forma de medir la distancia entre dos objetos en una manera que es consistente con la "normal" forma de medir la distancia entre los puntos.

Lo que esta definición está diciendo es que, dados los dos puntos de $(x_1, x_2)$ e $(y_1, y2)$, podemos medir la "distancia" entre ellos de dos maneras. Estas formas de medir la distancia son descritas como las funciones de $\rho(x,y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2|$, e $d(x, y) = \max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}$.

Tenemos dos valores de $x$ e $y$ porque $x$ e $y$ son los puntos.

Definimos la "unidad de barrio de el origen" es el conjunto de todos los puntos tales que la distancia (como se define por nuestra métrica) entre el punto y el origen es $1$.

Answer 2

Los puntos en el plano tienen dos coordenadas,$x=(x_1, x_2)$ es un punto en$\mathbb R^2$ con coordenadas$x_1$ y$x_2$.