Casi en todas partes la convergencia y la convergencia de $L^{p}$ las normas implica una débil convergencia

Question

Deje que $(f_n)$ ser funciones en $L^p( \Omega ), 1<p< \infty $ de tal manera que $(f_n) \rightarrow f$ casi en todas partes y $ \Vert f_n \Vert_p \rightarrow \Vert f \Vert_p $ . ¿Cómo se demuestra que $f_n \rightarrow f$ débilmente en $L^p( \Omega )$ sin mostrando por primera vez que $f_n \rightarrow f$ fuertemente en $L^p( \Omega )$ ? (Sé que bajo estas hipótesis de hecho obtenemos que $f_n \rightarrow f$ fuertemente, como se explica aquí

Punto y Convergencia de $L^p$ Las normas que implican la convergencia en $L^p$ ,

pero debe haber un argumento más fácil y directo de que $f_n \rightarrow f$ débilmente.)

Sé que alguna consecuencia $(f_{n_k})$ converge débilmente en algunos $g$ en $L^p( \Omega )$ desde el $f_n's$ están limitadas, pero entonces (1) ¿cómo pasamos de la secuencia subsiguiente a la original, y (2) cómo mostramos que $g=f$ ?

¡Gracias!

Answer 1

El límite de $\|f_n\|_p$ junto con el reflejo de $L^p( \Omega )$ para $p \in (1, \infty )$ nos permite concluir que $f_{n_k} \rightharpoonup g$ débilmente en $L^p( \Omega )$ para algunos $g \in L^p( \Omega )$ . Recuerde que $f_n \rightarrow f$ a.e. en $ \Omega $ . Usando estos hechos y el teorema de Egorov podemos mostrar $g=f$ a.e. en $ \Omega $ . Entonces, a través de la argumentación por contradicción (una forma estándar) se puede mostrar la secuencia original $f_n \rightharpoonup f$ débilmente en $L^p( \Omega )$ .

Answer 2

Porque las normas de la f_n son limitadas. Hay una subsecuente que converge débilmente en algo de g en Lp: por el teorema de Alaoglu la bola Normada es compacta en la débil topología de la estrella. Creo que se puede repetir esto para cualquier subsecuente, y usando el hecho de que fn conv ae a f, conseguir que fn conv débilmente a fn.