Demostrando que es un operador normal

Question

Dejemos que $H$ es un espacio de Hilbert

$I$ es el operador de la unidad, $T \in B(H)$ y $\lambda \in \mathbb C$

$T$ es el operador normal $\Rightarrow$ $T-\lambda I$ también es un operador normal.

Sólo pude escribir :

Debo demostrar que $(T-\lambda I)(T-\lambda I)^{\ast}=(T-\lambda I)^{\ast}(T-\lambda I)$

$TT^{\ast}=T^{\ast}T$

$I^{\ast}=I$

$(T-\lambda I)^{\ast}=T^{\ast}- \bar{\lambda}I$

(donde $\ast$ significa adjunto y $\bar{\lambda}I$ significa complejo conjugado.

No puedo continuar. Estoy realmente atascado

Gracias por cualquier ayuda

Answer 1

También puede utilizar la caracterización que $A \in B(H)$ es normal si y sólo si $\|Ax\| = \|A^*x\|, \forall x \in H$ .

Para $x \in H$ tenemos

$$\begin{align} \|(T - \lambda I)x\|^2 &= \langle Tx - \lambda x, Tx - \lambda x\rangle \\ &= \langle Tx,Tx\rangle - 2\operatorname{Re} \langle Tx, \lambda x\rangle + \langle \lambda x, \lambda x\rangle\\ &= \|Tx\|^2 - 2\operatorname{Re} \overline{\lambda}\langle Tx, x\rangle + |\lambda|^2\|x\|^2\\ &= \|T^*x\|^2 - 2\operatorname{Re} \overline{\lambda}\langle x, T^*x\rangle + \left|\overline{\lambda}\right|^2\|x\|^2\\ &= \langle \overline{\lambda} x,\overline{\lambda}x\rangle - 2\operatorname{Re} \langle \overline{\lambda}x, T^*x\rangle+ \langle T^*x,T^*x\rangle\\ &= \left\langle \overline{\lambda}x - T^*x,\overline{\lambda}x - T^*x\right\rangle\\ &= \left\|\left(\overline{\lambda} I - T^*\right)x\right\|^2\\ &= \left\|(T-\lambda I)^*x\right\|^2 \end{align}$$

así que $T - \lambda I$ es normal.

Answer 2

Entonces $$(T-\lambda I)(T-\lambda I)^*=(T-\lambda I)(T^*-\overline\lambda I) =TT^*-\lambda T^*-\overline\lambda T+|\lambda|^2I.$$ ¿Qué pasa con $(T-\lambda I)^*(T-\lambda I)$ ?

Answer 3

Tenga en cuenta que

$(T - \lambda I)^\ast = T^\ast - \bar \lambda I; \tag 1$

entonces, utilizando $TT^\ast = T^\ast T$ (es decir, la normalidad de $T$ ), se tiene

$(T - \lambda I)(T - \lambda I)^\ast = (T - \lambda I)(T^\ast - \bar \lambda I) = TT^\ast - \bar \lambda T - \lambda T^\ast + \lambda \bar \lambda I$ $= T^\ast T - \bar \lambda T - \lambda T^\ast + \lambda \bar \lambda I = T^\ast (T - \lambda I) - \bar \lambda (T - \lambda I)$ $= (T^\ast - \bar \lambda I)(T - \lambda I) = (T - \lambda I)^\ast (T - \lambda I), \tag 2$

que afirma que $T - \lambda$ es normal.

Answer 4

$T$ es normal si $T$ conmuta con su adjunto $T^*$ . Si $T$ es normal, entonces $T^*$ se desplaza con $(T-\lambda I)$ y $\overline{\lambda}I$ se desplaza con $(T-\lambda I)$ Por lo tanto $T^*-\overline{\lambda}I=(T-\lambda I)^*$ se desplaza con $T-\lambda I$ que hace que $T-\lambda I$ normal.