Actualmente estoy trabajando a través de la prueba de la siguiente ecuación para la curvatura de Riemann de la inmersión:
\begin{align} \langle \overline R(\overline X,\overline Y)\overline Z,\overline W \rangle &= \langle R(X,Y)Z,W \rangle - \frac 14 \left\langle [\overline X,\overline Z]^v,[\overline Y,\overline W]^v \right\rangle \\ &\qquad + \frac 14 \left\langle [\overline Y,\overline Z]^v,[\overline X,\overline W]^v \right\rangle - \frac 12 \left\langle [\overline Z,\overline W]^v,[\overline X,\overline Y]^v \right\rangle. \end{align}
El contexto de esta pregunta, incluyendo do Carmo la notación que se reproducen aquí, viene de los Problemas 8.8-8.10 de la do Carmo de la Geometría de Riemann (archivo PDF de esos problemas). Pero mi pregunta se centra únicamente en el Problema 8.10(a).
Estoy tratando de llenar los detalles de la do Carmo la pista que conduce a la fórmula. Yo soy de reproducción de la pista de abajo, pero también estoy tratando de llenar los detalles de la pista. Mis preguntas a continuación se centran alrededor de la cumplimentación de dichos datos.
Sugerencia: Observar que $\overline X \langle \overline \nabla_{\overline Y}\overline Z,\overline W \rangle = X\langle \nabla_Y Z,W\rangle$. Por lo tanto, \begin{align} \tag{1} \langle \overline \nabla_{\overline X} \overline \nabla_{\overline Y} \overline Z,\overline W\rangle &= \overline X\langle \overline \nabla_{\overline Y}\overline Z,\overline W\rangle - \langle \overline \nabla_{\overline Y}\overline Z,\overline \nabla_{\overline X}\overline W\rangle \\ &= \langle \nabla_X \nabla_Y Z,W\rangle - \frac 14 \langle [\overline Y,\overline Z]^v,[\overline X,\overline W]^v \rangle. \end{align} Por otro lado, si $T \in \mathcal X(\overline M)$ es vertical, \begin{align} \tag{2} \langle \overline \nabla_T \overline X,\overline Y \rangle = \langle \overline \nabla_\overline X T,\overline Y \rangle + \langle [T,\overline X],\overline Y\rangle = -\langle T,\overline \nabla_{\overline X} \overline Y \rangle. \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \tag{3} \langle \overline \nabla_{[\overline X,\overline Y]} \overline Z,\overline W\rangle &= \langle \overline \nabla_{[\overline X,\overline Y]^h} \overline Z,\overline W \rangle + \langle \overline \nabla_{[\overline X,\overline Y]^v} \overline Z,\overline W \rangle \\ &= \langle \overline \nabla_{[X,Y]} Z,W \rangle - \frac 12 \langle [\overline X,\overline Y]^v,[\overline Z,\overline W]^v \rangle. \end{align} Poner la anterior, obtenemos la ecuación deseada.
Mis pensamientos hasta el momento:
Una vez que los tres identidades en la sugerencia se establecen, yo sin duda lo haría saber cómo aplicar la definición de la curvture de $\overline R$ a establecer la ecuación deseada.
Pero no puedo entender bien cómo aquellos por encima de las identidades establecidas.
En $(1)$, he trabajado a partir de un término en el lado derecho de la $(1)$---y trató de aplicar la fórmula de Ejercicio 8.9(b) (puede verse en el archivo PDF enlazado más arriba)---de la siguiente manera: \begin{align} &\frac 14 \langle [\overline Y,\overline Z]^v,[\overline X,\overline W]^v \rangle \\ &\qquad = \frac 14 \langle 2(\overline \nabla_{\overline Y}\overline Z-\overline{(\nabla_Y Z)}),2(\overline \nabla_{\overline X}\overline W-\overline{(\nabla_X W)})\rangle \\ &\qquad = \langle \overline \nabla_{\overline Y}\overline Z-\overline{(\nabla_Y Z)},\overline \nabla_{\overline X}\overline W-\overline{(\nabla_X W)}\rangle \\ &\qquad = \langle \overline \nabla_{\overline Y}\overline Z,\overline \nabla_{\overline X}\overline W \rangle - \langle \nabla_{\overline Y}\overline Z, \overline{(\nabla_X W)} \rangle - \langle \overline{(\nabla_Y Z)} , \overline \nabla_{\overline X} \overline W \rangle + \langle \overline{(\nabla_Y Z)}, \overline{(\nabla_X W)} \rangle \end{align} pero no estoy seguro de cómo proceder (aunque veo un término en el lado izquierdo de $(1)$, lo cual es una buena señal).
En $(2)$, la primera igualdad es simple. Pero es la segunda la igualdad de $(2)$ que me está dando problemas. He intentado trabajar desde el lado derecho otra vez (como yo lo hice en $(1)$): \begin{align} -\langle T, \overline \nabla_{\overline X}\overline Y \rangle = -\frac 12 \langle T,[\overline X,\overline Y] \rangle = -\frac 12 \langle T,\overline \nabla_{\overline X}\overline Y \rangle + \frac 12 \langle T,\overline \nabla_{\overline Y} \overline X \rangle, \end{align} lo cual implicaría de forma algebraica que $-\langle T, \overline \nabla_{\overline X} \overline Y \rangle = \langle T, \overline \nabla_{\overline Y} \overline X \rangle$ o $\overline \nabla_{\overline Y}\overline X = -\overline \nabla_{\overline X}\overline Y$ si se mantiene para todos los $T$. No estoy seguro de cómo esto me ayudara a conseguir para el establecimiento de \begin{align} -\langle T,\overline \nabla_{\overline X} \overline Y \rangle=\langle \overline \nabla_\overline X T,\overline Y \rangle + \langle [T,\overline X],\overline Y\rangle, \end{align} sin embargo.
En $(3)$, la primera igualdad es fácil porque solo hay que reconocer que $[\overline X,\overline Y] = [\overline X,\overline Y]^h+[\overline X,\overline Y]^v$. Sin embargo, la segunda igualdad de $(3)$ no es fácil para mí para averiguar. Pero supongo que puedo usar algo similar a la de trabajo que me hicieron en $(1)$.
Este es un post largo, así que mi trabajo puede ser a veces descuidado (aunque espero que no). Por favor, me pregunta si hay algo que leer que me necesitas para aclarar mejor.
