Concurso Matemática problema de álgebra lineal

Question

Si$A\in M_2(\mathbb{R})$, demuestre que:$$ \det(A^2 + A + I_2) \geq \frac{3}{4}(1-\det A)^2.$ $

Si$x,y$ son los valores propios de$A$, entonces obtenemos la siguiente desigualdad$$(x^2+x+1)(y^2+y+1)\geq \frac{3}{4}(1-xy)^2.$$ I was stuck after this step and it turns out that $$ (x ^2 + x +1)(y^2 +y +1) - \frac{3}{4} \left( xy-1 \right)^2 = \frac{1}{4}(2x +2 y +xy +1 )^2 \geq 0.$ $ Mi pregunta es cómo se hace para encontrar un cuadrado tan completo ? ¿Hay algunos trucos que pueden ayudar a uno a encontrar tales expresiones? Tal vez alguien conoce una condición bajo la cual la ecuación de una cónica general

¿$$ax^2+hxy+by^2+cx+dy+f=0$ $ es un cuadrado perfecto?

Answer 1

No puedo pensar en una mejor manera de completar el cuadrado. De todos modos, como las matrices son$2\times2$, podría ser más fácil usar el teorema de Cayley-Hamilton, porque hay menos términos involucrados.

Deje$p=\operatorname{tr}(A)+1$ y$q=1-\det(A)$. La diferencia entre los dos lados de la desigualdad entonces se convierte en \begin{align} &\det(pA+qI)-\frac34q^2\\ &=p^2\det(A) + pq\operatorname{tr}(A) + q^2 - \frac34q^2\\ &=p^2(1-q) + pq(p-1) + \frac14q^2\\ &=p^2 - pq + \frac14q^2\\ &=\left(p-\frac q2\right)^2. \end {align}

Answer 2

Yo intentaría así. La siguiente ecuación debe ser verdadera para todos los$x,y$:

PS

Entonces, ¿qué obtendríamos si$$ (x ^2 + x +1)(y^2 +y +1) - \frac{3}{4} \left( xy-1 \right)^2 = (ax^2+hxy+by^2+cx+dy+f)^2$:$y=0$ $

así que$$ x ^2 + x +1 - \frac{3}{4} = (ax^2+cx+f)^2$ $ Ya que esto se mantiene para todos los$$ (x+{1\over 2})^2 = (ax^2+cx+f)^2$ tenemos$x$,$a=0$ y$c= 1$.

Con el mismo procedimiento para$f = {1\over 2}$ obtenemos$x=0$ y$b=0$. Nos queda por calcular$d=1$.

Para$h$ obtenemos entonces$x=y=-1$$$(h+{5\over 2})^2=9$ x = y = 1$ and for $$ we get then $$(h-{3\over 2})^2=1$ h = {1 \ over 2} $.