Lo que está mal en esta prueba. Me parece correcta pero sigue sin tener sentido.
$$\sqrt{\cdots\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}}}}=5^{1/\infty}=5^0=1$$
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¿Significa esto que
$5^{1/\infty} = 1$
$(5^{1/\infty})^\infty = 1^\infty$
Pero según yo, $1^\infty$ es indeterminada.
Lo que parece incorrecto es porque el lenguaje parece informal. Formalmente, se escribiría $$ x_0=5, \quad x_n = \sqrt{x_{n-1}} $$ para describir las iteraciones de las raíces cuadradas. Se calcula fácilmente que $$ x_n = x_0^{1/{2^n}} $$ y puesto que $x_0^{1/n} \to 1$ para todos $x_0 > 0$ lo mismo ocurre con $x_n$ . (Se puede demostrar demostrando que el logaritmo de la secuencia es igual a $0$ ; esto es trivial).
Espero que le sirva de ayuda,
Aparentemente el OP quería decir raíces cuadradas infinitas al principio De lo contrario, su uso del infinito es aún más impar.
@Pa A mí tampoco, pero ¿cómo se explica si no el infinito en el post del OP? Más interesante aún, serían infinitas raíces cuadradas.... de lo que ?
Tal vez lo hiciera, pero el extraño uso de los puntos en esa raíz y el aún más extraño uso del infinito lo hacen dudoso.
@Timbuc tanto los puntos como el recíproco del infinito tienen sentido y mai formalizarse adecuadamente, como hicieron varias respuestas, en lugar de burlarse por no expresar el significado obvio de la manera que se considera adecuada
@Mirko ¿Qué significan esos puntos? al principio de la raíz cuadrada ? ¿Puedes adivinarlo? Yo no. Tampoco puedo adivinar quién se burla de quién o qué por quién sabe qué.
Lo comprendo: Quiero decir que deberías añadir tu aclaración a tu respuesta. La otra parte poco clara es tu comentario entre paréntesis. Debería ampliarse después de decir " $x=0$ o $x=1$ ". La brevedad me parece confusa. --¿Por qué borraste tu comentario? El material era bueno, simplemente te recomiendo que pongas ese comentario en tu respuesta principal.
Esta es una buena forma de deducir los posibles valores de $x$ pero no es en sí mismo una prueba de que alguno de los valores funcione realmente. (Pruebe a resolver $x^{x^{x^{\dots}}}=2$ y $x^{x^{x^{\dots}}}=4$ [el mismo valor para $x$ en cada uno].
$$n=\sqrt{...\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}}}}$$
Como hay una cascada infinita de raíces, podemos añadir 1 (o tantas como queramos):
$$n=\sqrt{...\sqrt{\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}}}}}$$
Sustitución por el $n$ de la primera ecuación:
$$n=\sqrt{n}$$
o
$$n^2=n$$
Como las raíces cuadradas de un número mayor que 1 nunca pueden ser menores que 1, podemos descartar la solución $n=0$ por lo que podemos dividir ambos lados por n, y
$$n=1$$
Esa argumentación sólo funciona si ya sabes que la secuencia converge. De lo contrario, encontrará que $1+2+4+8+\ldots=-1$ porque obviamente cumple la ecuación $2x+1=x$ y $-1$ es la única solución a esa ecuación.
@celtschk: Si estamos de acuerdo en que las raíces cuadradas son positivo , el hecho de que la extracción de una raíz cuadrada para un número mayor que 1 dé como resultado un número menor, nos asegura que estamos en terreno más seguro: una secuencia monotónicamente decreciente de números positivos.
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¿Qué significan esos puntos en la primera raíz cuadrada?
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Significa enraizamiento cuadrado infinito
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$1/\infty$ definitivamente no es algo que puedas usar en algo parecido a una prueba matemática...
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Er...raíz cuadrada de lo que ?
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Antes de pedir una prueba correcta, es posible que tenga que pedir una formalización correcta del problema.
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Sea $a=\sqrt{...\sqrt{\sqrt{\sqrt{5}}}}$ entonces $a(a-1)=0$ Así que $a=0$ o $a=1$ Por lo tanto, ¿esta "cantidad" no existe? ¿Qué? ¿Estoy alucinando? ¿Qué impide $a$ de ser cero?
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(Aparte del hecho de que las expresiones infinitas son OMI delirantes en general, a menos que sean de un tipo especial para el que se les dé un significado especial, ésta es particularmente insidiosa:) Dado que hay un signo de raíz cuadrada más interior y otro más exterior (ambos visibles), cabe preguntarse seriamente qué significan los puntos si sugieren una repetición infinita (y si es finita, está claro que necesitamos saber cuántos). ¿Están indexados, de dentro hacia fuera por $\omega+1$ (por lo que después de tomar el límite tomar una raíz más), o algún otro cardinal, o tal vez no están bien ordenados en el primer lugar?
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El error fundamental está en utilizar $\infty$ como un número.
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No tienes ningún error salvo falta de rigor; tienes razón en que a medida que tomas más raíces de 5 el resultado se aproxima a 1.
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Tratamiento de $\frac{1}{\infty}$ como un número, o tomando el $\infty$ de ambas partes, no es algo que las matemáticas aprueben. O permite, incluso.
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En cuanto a su última observación, tenga en cuenta que $(5^{\frac{1}{\infty}})^\infty$ es indeterminada.