Cómo resolver: $\frac{2^{n+1}}{n+1}=\frac{4+2^n}{3}$

Question

$n$ es una variable entera que satisface$$\frac{2^{n+1}}{n+1}=\frac{4+2^n}{3}$$ How can I find $ n $?

Answer 1

Reescribiendo, tenemos$3\cdot2^{n+1}=(n+1)(4+2^n)$

Primero, tenga en cuenta que cuando$n\geq 5$, tenemos$(n+1)(4+2^n)>6\cdot 2^n=3\cdot2^{n+1}$

A continuación, tenga en cuenta que siempre que$n<-1$,$(n+1)(4+2^n)<0<3\cdot2^{n+1}$

Tenga en cuenta que$n=-1$ no es posible porque en la primera ecuación dividiríamos por$0$.

Por lo tanto, cualquier solución debe tener$n\in[0,4]$

Ahora solo revisamos nuestros casos de$5$ y encontramos que las únicas soluciones son$n=1$,$n=2$ y$n=3$.

Answer 2

Es equivalente a$$5\cdot2^n=4n+4+n\cdot2^n$ $, que requiere$-1<n<5$. Sólo tienes que intentarlo $n=0,1,2,3,4$

Answer 3

la ecuación$$\frac{2^{n+1}}{n+1}=\frac{4+2^n}{3}$ $ es equivalente a$$2^{n-2}=\frac{n+1}{5-n}$ $

porque$2^{n-2}>0$ sigue ese$\frac{n+1}{5-n}>0,0<n<5$

Necesitamos revisar$n=1,2,3,4$

para$n=1$ obtenemos$$2^{-1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $ para$n=2$ obtenemos$$2^0=\frac{3}{3}=1$ $ para$n=3$ obtenemos$$2^1=\frac{4}{2}=2$ $ para$n=4$ obtenemos $$2^2\neq\frac{5}{1}=5$ $ por lo que las soluciones enteras son$n=1,n=2,n=3$

Answer 4

$\Large \frac{2^{n+1}}{n+1}=\frac{4+2^{n}}{3}$

esta ecuación nos dice que$n+1>0 \Rightarrow n>-1 $ ((i) no podemos dividir por cero (ii) RHS es + ve, por lo que LHS también debe ser + ve)

$\Large \frac{2^{n+1}}{n+1}=\frac{8+2^{n+1}}{6}=\frac{8}{6}+\frac{2^{n+1}}{6}$ (multiplica y divide RHS por$2$)

$\Large \frac{2^{n+1}}{n+1}-\frac{2^{n+1}}{6}=\frac{8}{6}$ (la diferencia de dos términos es + ve)

esta ecuación nos dice que$\Large \frac{2^{n+1}}{n+1} > \frac{2^{n+1}}{6}\Rightarrow n+1<6 \Rightarrow n<5$

Así que los valores enteros para verificar la respuesta son$0,1,2,3,4$