Cómo probar que si $p$ es un número primo para todos $i \geq p$ y $k \geq 0$ el coeficiente de $$ \frac {d^i}{dx^i} \left ( \frac {x^{p+k}}{(p-1)!} \right )$$ es un número entero múltiplo de $p$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lo sabemos, $$ \frac {d^n (x^m)}{dx^n}=m(m-1)(m-n+1)x^{m-n}$$
Así que.., $$ \frac {d^i}{dx^i} \left ( \frac {x^{p+k}}{(p-1)!} \right )= \frac {(p+k)(p+k-1) \cdots (p+k-i-1)}{(p-1)!}x^{p+k-i}$$
Así que, el coeficiente de $x^{p+k-i}$ es $$ \frac {(p+k)(p+k-1) \cdots (p+k-i-1)}{(p-1)!}$$
Como $i \ge p,$ si $i=p,$ el coeficiente se convierte en $$ \frac {(p+k)(p+k-1) \cdots (k-1)}{(p-1)!}= \binom {p+k}{k-1}$$ que es un número entero.
El denominador $(p-1)!$ es co-prime con $p$ .
El numerador contiene $p+k-(k-1)+1=p+2$ términos consecutivos por lo tanto es divisible por $p$
Por lo tanto, el coeficiente es divisible por $p$ .
En una mayor diferenciación, es decir, para los valores más altos de $i$ algunos números enteros (hasta que el multiplicador se convierte en $0$ ) se multiplicará por el coeficiente, por lo que este último seguirá siendo divisible por $p$ .
